2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册课件： 6.3.1平面向量基本定理(共14张PPT)

(共14张PPT)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
第六章 平面向量及其应用
6.3.1 平面向量基本定理
学习目标：
1. 理解平面向量基本定理及其意义；
2.会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
教学重点：
平面向量基本定理及其应用.
教学难点：
平面向量基本定理的理解及应用.
想一想：
复习：向量共线的充要条件：
存在唯一一个实数，使.
思考 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，通过作平行四边形，可以将力分解为多组大小、方向不同的分力.
问题1 类比力的分解，能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和？
问题2 如图（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图（2），在平面内任取一点O，作 .将按的方向分解，能发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，
则. 由与共线，与共线可得，存在实数 ，使得 ，所以 .也就是说，与都不共线的向量都可以表示成的形式.
问题3 当是与共线的非零向量时， 是否也可以表示成的形式？当是零向量呢？
平面内任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果还可以表示成的形式，那么 .可得 .假设， 不全为0，不妨假设 ，则 .由此可得共线.这与已知不共线矛盾，由此可推出， 全为0，即， .也就是说，有且只有一对实数 ，，使.
若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数 ，，使.
基底：
任一向量都可以由同一个基底唯一表示.
例1 如图，不共线，且，用表示.
解：因为 ，
所以
.
证明：如图，设则， 于是.
.
因为，所以.
因为，，所以.
因此.
于是是直角三角形.
例2 如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形.
练一练
1. 在，若分别在边上，且，.则向量表示（ ）
A. B. C. D.
A
解：如图所示， ，
因为，所以.
所以.
所以.故选A.
练一练
2. 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与； ②与； ③ 与 ；④ 与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② 　B．①③ 　C．①④ 　D．③④
解： ①与不共线；② ，则与共线； ③ 与不共线； ④ ，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
B
练一练
3. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，试用基底表示和.
解：，，
，
，
，
.
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
平面向量基本定理；
基底.