人教版（2019）物理必修三同步学习笔记：10.5带电粒子在交变电场中的运动（有解析）

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人教版物理必修三典型题：带电粒子在交变电场中的运动
例题：如图甲所示，真空中的粒子源可连续不断均匀地逸出带负电粒子（初速度为零），粒子质量，带电量，粒子通过电压的加速电场后，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的金属板A、B的中点垂直射入偏转电场，A、B板间距，板长，两板间电压如图乙所示为方波形周期电压，已知，时刻进入金属板的粒子恰好从偏转电场的中线离开，距两极板右端处竖直放置一足够大的荧光屏，以荧光屏中点O为原点建立如图所示坐标，不计粒子重力。（粒子若打在极板上，不影响两板间电压）
（1）能从板离开的粒子在偏转电场中运动时间；
（2）电压；
（3）粒子打在荧光屏上的坐标范围。
情景特点：带负电粒子 加速电场 偏转电场 周期电压
问题特点： 时间 电压 坐标范围
（1）当粒子通过加速电场，由动能定理可得
解得
粒子进入偏转电场后在水平方向做匀速直线运动，若能离开偏转电场
解得
粒子在两极板中的运动时间刚好与交变电压的周期T相同
（2）时刻进入金属板的粒子，在内竖直方向做匀加速直线运动，对粒子竖直方向分运动研究，由牛顿第二定律可得
得
时刻
粒子恰好从偏转电场的中线离开，故内粒子的位移为，则有
解得
同理
解得
，
（3）时刻进入的粒子打在荧光屏距离O点最近处，一部分粒子会打在下级板处而不能到达荧光屏，恰好从下级板边缘出射得粒子打在荧光屏距离O点最远处，如图所示
无论从何处离开极板，粒子在竖直方向分速度与水平分速度相同，即速度与水平方向夹角相等。
由几何关系，
故范围为
一、带电粒子在交变电场中的直线运动
1．此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动．
2．该问题通常用动力学知识分析求解．重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等．
常用v－t图像法来处理此类问题，通过画出粒子的v－t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解．
二、带电粒子在交变电场中的曲线运动
带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子做曲线运动．
(1)若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，故可认为粒子所受静电力为恒力，粒子在电场中做类平抛运动．
(2)若粒子运动时间较长，在初速度方向做匀速直线运动，在垂直初速度方向利用vy－t图像进行分析：
①vy＝0时，速度方向沿v0方向．
②y方向位移可用vy－t图像的面积进行求解．
若粒子在平行板电容器中运动的时间t等于板间矩形波交变电压的周期的整数倍，即t＝nT(n＝1,2,3…)，则粒子射出电场时的速度方向均平行(所有粒子在竖直方向加速或减速的时间均相等，在竖直方向的速度变化量均相等)
变式一、变图像
如图甲所示，两竖直平行金属板A、B接在电压U0=400V的稳压电源上，B板上靠近中间处有水平狭缝。在B板右侧水平放置长L=10cm的两平行金属板C、D，两板间距d=4cm，距板右端处垂直放置一接收屏。A板中间位置有一离子源O可以连续释放初速度为零的正离子（不计离子受到的重力），离子源O、B板上的狭缝、CD中间线在同一水平面内，CD间不加电压时，屏上会出现亮点P。如果在C、D两极板间接上如图乙所示的电压（离子通过C、D间电场的时间内该电场可视为匀强电场），离子的比荷均为=2×106C/kg。
（1）求离子穿过B板狭缝时的速度大小v；
（2）求屏上有离子落点的长度s。
【详解】（1）离子从A板到B板过程中，由动能定理有
解得
（2）设离子恰好从极板边缘射出时极板电压为，所用时间为t，有
解得
可知，当
时离子打到极板上
时离子打到屏上。离子出电场后做匀速直线运动，由几何关系有
解得
变式二、算轨迹
在图甲金属板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，周期T为已知，而电压绝对值未知，质量为m、电荷量为＋q，不计重力的带电粒子，在时刻从A板中央小孔由静止释放，当金属板间的距离为d时，在时刻粒子从B板的小孔飞出，求：
（1）粒子到达B板小孔时的速度大小以及电压绝对值的大小；
（2）仅将金属板间的距离调整为8d时，求粒子到达B板小孔时的速度大小以及经历的时间；
（3）将金属板间的距离调整为12d，带电粒子在时刻从A板中央小孔由静止释放，求粒子到达B板小孔经历的时间。
【详解】解析：（1）在前到达B板的粒子，均在电场力作用下从静止做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
根据位移与时间的关系
而
联立解得
，
（2）设运动时间大于到达B板，粒子运动的图像如图甲所示，设每半周期内的位移为
现在两板间距离
则粒子在板间的加速度
在半个周期内粒子前进的距离
则经历的半周期数为
即粒子经历4个半周期刚好到达B板，所用时间为
此时速度恰好为0。
（3）粒子在电场中的加速度
粒子运动的图像如图乙所示，现在每周期内的前进的位移为
后退的位移大小
因此每周期内的总位移为
则经历的周期数为
但要考应最后一个周期的运动，粒子向右运动到B板不再返回，因为
可知在减速阶段到达B板，设在最后一个周期内，先加速运动的时间，再减速运动的为，则
其中
比较
解得
，（舍去）
可知粒子到达B板小孔经历的时间
变式三、变问题
研究原子核的结构时，需要用能量很高的粒子轰击原子核。为了使带电粒子获得很高的能量，科学家发明了各种粒子加速器。图1为某直线加速装置的示意图，它由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列组成，其轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源的两极相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图2所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0） 的中央有一电子， 在圆板和圆筒1之间的 电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使电子在圆筒之间的间隙都能被加速，圆筒长度的设计必须遵照一定的规律。若电子的质量为m电荷量为-e，交变电源的电压为，周期为，两圆筒间隙的电场可视为匀强电场，圆筒内场强均为0。（不计电子的重力）。
（1）若不忽略电子通过圆筒间隙的时间，求电子进入圆筒I时的速度并画出电子从圆板出发到离开圆筒2这个过程的v-t图。
（2）若忽略电子通过圆筒间隙的时间，求电子刚要进入第n个圆筒时的速度及第n个金属圆筒的长度应该为多少
【详解】（1）电子从0号筒到1号筒做直线加速运动，由动能定理有
解得
电子以进入1号筒匀速运动，在1号和2号之间做第二次加速运动，电场在的时间内反向从而保证能加速；电子以进入2号筒匀速运动，有
解得
则电子从圆板出发到离开圆筒2这个过程的v-t图如图所示
（2）电子刚要进入第n个圆筒时已加速了n次，由动能定理有
解得
若忽略电子通过圆筒间隙的时间，则第n个筒匀速的时间为的时间，从而保证电场反向能一直加速，有
解得
5．如图甲所示。真空中水平放置的平行金属板间距为d。紧邻两板右侧有一荧光屏。O点为荧光屏的中心，两板间加如图乙所示的变化电压（已知）。现有大量完全相同的带电粒子由静止开始经加速电场后。沿平行板正中间水平射入两板之间。某粒子在时刻进入两板。经过时间打在荧光屏上Р点，已知平行金属板长为L．粒子质量为m、电荷量为q。所有粒子均能从两板间射出并打在荧光屏上。不计粒子重力和粒子间相互作用。求：
（1）加速电压；
（2）时刻进入板间的粒子打在荧光屏上Р点与O点间的距离；
（3）不同时刻进入板间的粒子打在荧光屏上的落点与O点间距的最大值与最小值之比。
6．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示。加在极板A、B间的电压UAB做周期性变化，其正向电压为U0，反向电压为－kU0（k＞1），电压变化的周期为2τ，如图乙所示。在t＝0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用。若，电子在0~2τ时间内不能到达极板A，求d应满足的条件。
7．如图所示为电场直线加速器的示意图，由炽热的金属丝、个长度不同的金属圆筒（两底面开有小孔）和一个靶组成．把炽热的金属丝与所有的圆筒交叉连接到电压恒为、电势高低作周期性变化的电源上，确保每次电子从金属丝到第一个圆筒的左侧和每两个圆筒的缝隙时都被电场加速，缝隙宽度很小，电子经过缝隙时间不计，经过每个圆筒的时间为。
（1）试说明电子在每个圆筒里运动情况，同时每个圆筒的长度必须遵循什么条件？
（2）最后打在靶上的电子动能为多大？
8．如图甲所示，真空中的电极被连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板、间的中线射入偏转电场，、两板距离为、、板长为，两板间加周期性变化的电场，如图乙所示，周期为，加速电压为，其中为电子质量、为电子电量，为、板长，为偏转电场的周期，不计电子的重力，不计电子间的相互作用力，且所有电子都能离开偏转电场，求：
(1)电子从加速电场飞出后的水平速度大小？
(2)时刻射入偏转电场的电子离开偏转电场时距、间中线的距离。
9．在金属板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压U0，其周期是T。现有电子以平行于金属板的速度vo从两板中央射入。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，求：
(1)若电子从t=0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小。
(2)若电子从t=时刻射入，恰能从两板中央平行于板飞出，则两板间距至少多大？
10．如图(甲)所示，长为L、间距为d的两金属板A，B水平放置，ab为两板的中心线，一个带电粒子以速度v0从a点水平射入，沿直线从b点射出，粒子质量为m，电荷量为q。若将两金属板接到如图(乙)所示的交变电压上，欲使该粒子仍能从b点以速度v0射出，求:
(1)交变电压的周期T应满足什么条件，粒子从a点射入金属板的时刻应满足什么条件；
(2)两板间距d应满足的条件。
11．两块水平平行放置的导体板如图甲所示，板间距为d，大量电子（质量为m、电荷量为e）由静止开始，经电压为的电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入。当两板均不带电时，这些电子通过两板之间的时间为；当在两板间加如图乙所示的周期为的周期性电压，该电压在前半个周期电压恒为，在后半个周期电压为零，所有电子均能从两板间通过（不计电子重力及电子间相互作用），、、m、e、d均为已知量。求：
（1）电子刚进入两板间时的速度大小；
（2）0时刻和时刻进入两板间的电子通过两板间过程中产生的侧向位移大小。
12．如图（a）所示，A、B为两块平行金属板，极板间电压为UAB=1125V，板中央有小孔O和O′。现有足够多的电子源源不断地从小孔O由静止进入A、B之间。在B板右侧，平行金属板M、N长L1=4×10-2m，板间距离d=4×10-3m，在距离M、N右侧边缘L2=0.1m处有一荧光屏P，当M、N之间未加电压时电子沿M板的下边沿穿过，打在荧光屏上的O″并发出荧光。现给金属板M、N之间加一个如图（b）所示的变化电压u1，除了t=0.4n s (n =1，2，3…)时刻， N板电势均高于M板。已知电子质量为me＝9.0×10 31kg，电量为e=1.6×10-19C。
（1）每个电子从B板上的小孔O′射出时的速度多大？
（2）打在荧光屏上的电子范围是多少？
（3）打在荧光屏上的电子的最大动能是多少？
5．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）分析可知．甲粒子在电场中．水平方向有
粒子在加速电场中．由动能定理得
解得
（2）．粒子在竖直方向上的加速度为
时．竖直速度为
，竖直位移为
，粒子在竖直方向上做匀速运动．竖直位移为
．粒子在竖直方向上做匀加速运动．加速度为a．时．竖直速度为
．竖直位移为
整个过程的竖直位移为
（3）当粒子在竖直方向上．先加速后匀速时．打在荧光屏上的落点与O点间距的最大。为
粒子在竖直方向上．先匀速后加速时．打在荧光屏上的落点与O点间距的最小．为
则最大值与最小值之比为
6．
【详解】电子在0~τ时间内做匀加速运动，加速度的大小
位移为
在τ ~2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动，加速度的大小为
初速度的大小
v1＝a1τ
由于，匀减速运动阶段电子向上移动的最大位移
由题可知
d＞x1＋x2
解得
7．（1）电子在每个圆筒里做匀速直线运动；每个圆筒的长度满足；（2）
【详解】（1）由于圆筒内电场强度为零，所以电子在每个圆筒里做匀速直线运动。电子在圆筒的缝隙间做加速运动，进入第1个圆筒时，根据动能定理有
解得
进入第2个圆筒时，根据动能定理有
解得
进入第n个圆筒时，根据动能定理有
解得
所以每个圆筒的长度必须遵循
（2）经过n个圆筒后，电子经历了n次加速，打到靶上的动能为
8．(1)；(2)
【详解】(1)加速电场加速。由动能定理得
解得
(2)电子在偏转电场里水平方向匀速运动，水平方向有
所以运动时间
则时刻射入偏转电场的电子，在竖直方向匀加速运动，竖直方向有
9．(1)；(2)
【详解】(1)电子飞出过程中只有电场力做功，根据动能定理得
可求
(2)若电子恰能从两板中央平行于板飞出，要满足两个条件，第一竖直方向的位移为零，第二竖直方向的速度为零；则电子竖直方向只能先加速到某一速度vy再减速到零，然后反方向加速度到vy再减速到零。由于电子穿过电场的时间为T，所以竖直方向每段加速、减速的时间只能为，即电子竖直方向只能先加速时间到达某一速度vy再减速时间速度减小到零，然后反方向加速时间到达某一速度vy，再减速时间速度减小到零，电子回到原高度。根据以上描述电子可以从t时刻进入
设两板间距至为d，而电子加速时间的竖直位移为
而电子减速时间的竖直位移也为h，所以电子在竖直方向的最大位移为
而
解得
所以d的最小值为
10．(1) ， (n为正整数)；(2) (n为正整数)
【详解】(1)要使带电粒子从b点以速度v0射出，应满足
(n为正整数)
则
(n为正整数)
由运动的对称性可知，射入的时刻应为
即
(n为正整数).
(2)第一次加速过程有
将T代入得
要使粒子不打在板上,应满足
即
(n为正整数).
11．（1）；（2），
【详解】（1）在加速电场中有
解得
（2）在偏转电场中，加速度为
对于0时刻进入的电子
解得
对于时刻进入的电子
解得
12．(1) ；(2) ；(3)
【详解】(1) 电子经A、B两块金属板加速，有
解得
(2) 当U=100V时，电子经过MN极板向下的偏移量最大，为
由于说明所有的电子不可以飞出M、N；电子恰好沿着N板边缘飞出时，偏转距离最大，此时
解得此时的偏转电压
此时的竖直速度
离开偏转电场后，又向下偏转的距离
因此打在荧光屏上的电子范围是
(3)当电子沿着下板右端射出时，粒子的速度最大，即动能最大，根据动能定理
一、题型特点分析
二、例题讲解
三、解题必备知识
四、方法总结
五、变式归纳
六、巩固练习
六、巩固练习参考答案
试卷第1页，共3页
试卷第23页，共23页