函数单调性及其应用 讲义——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

高一函数单调性及其应用
考点一、函数单调性的证明
1．已知函数，且
(1)求解析式；
(2)判断并证明函数在区间的单调性.
2．已知函数满足：
(1)求的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并证明．
3．已知函数.
(1)请判断函数在和内的单调性，并证明在的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
考点二、求函数单调性区间
4．函数在（ ）
A．上是增函数 B．上是减函数
C．和上是增函数 D．和上是减函数
5．函数的单调减区间为______.
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的递增区间是_______.
考点三、已知函数单调性性求参数的取值范围
9．已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.
10．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
11．已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
15．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
考点四、利用函数单调性的求最值
16．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
17．的值域是（ ）
A． B． C． D．
18．若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
19．已知在上的最大值为M，最小值为m，若，则______．
20．函数的值域是______．
21．已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
22．已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
（1）求的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.
考点五、函数单调性的应用（比较大小解不等式）
23．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
24．定义在上的函数满足对任意的（）恒有，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
25．已知函数，若则实数的取值范围是____．
26．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
27．已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
29．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
考点六、抽象函数的应用
31．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
32．定义在R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且.
(1)求的值；
(2)求证在定义域R上单调递减；
(3)若时，求实数的取值范围.
33．已知定义在(0，+∞) 上的函数f(x)同时满足下列三个条件:①f(2)=-1；②对任意实数x，y(0，+∞)都有f(xy)= f(x)+f(y)；③当00.
（1）求f(4)，f()的值；
（2）证明:函数f(x)在(0，+∞)上为减函数；
（3）解关于x的不等式f(2x)34．已知定义域为的函数满足下列条件：对任意的实数都有：，当时，.
（1）求；
（2）求证：在为增函数；
（3）若，关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
考点七、函数单调性综合应用
35．当时，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
37．若函数f(x)满足： x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（ ）
A．f(0)＞f(3) B． x∈R，f(x)≤f(2)
C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3
38．函数的值域为_______________．
39．已知函数.
(1)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
40．已知函数，
(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：
(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.
41．已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
参考答案：
1．(1)；
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由题得且，解方程组即得解；
（2）利用单调性的定义判断证明即可.
（1）
解：且，解得.
所以函数的解析式为.
（2）
解：
∵.
∵，
，所以，
所以，所以函数在单调递增.
2．(1)
(2)单调递增，证明见详解.
.
(1)
令，则，，
代入，得，
即
(2)
由（1）可得：，
在区间上单调递增，证明如下：
，且，则
因为，所以，所以，即
所以在区间上单调递增.
3．(1)在上递减，在递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用单调性的定义判断证明即可；
（2）问题转化为存在，，所以只要求出的最大值即可求解.
（1）
在上递减，在递增，
证明：任取，且，则
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增，
（2）
由存在，使得成立，
得存在，使得成立，
由（1）可知在上递减，
所以当时，取得最大值，即，
所以，即实数的取值范围为
4．C
【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.
【详解】，
函数的定义域为，
其图象如下：
由图象可得函数在和上是增函数.
故选：C
5．，
【分析】讨论，，去掉绝对值号，在每种情况下，据二次函数的单调区间的求法，写出每种情况的单调减区间，即可得出的单调减区间.
【详解】①当时，，对称轴为∴此时的减区间为；
②当时，，对称轴为∴此时的减区间为；
∴综上：的单调减区间为，.
故答案为：，.
6．C
【分析】根据二次根式的定义，结合二次函数的单调性、复合函数的单调性进行求解即可.
【详解】函数的对称轴为：，
所以有，
故选：C
7．A
【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.
【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
8．
【分析】先求出函数的定义域，再求出在定义域内的增区间即可得出.
【详解】令，解得，故的定义域为，
因为的对称轴为，开口向下，
所以在单调递增，
所以的递增区间是.
故答案为：.
9．
【分析】根据函数的单调性的定义及对参数进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的单调性即可求解.
【详解】由题意知，解得，
所以实数a的值为.
当时，在区间上是减函数，所以满足题意；
当时，因为在区间上是减函数，
所以，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：；.
10．
【分析】去绝对值将转化为分段函数，再根据单调性求解a的值即可.
【详解】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
11．ABC
【分析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以
解得.
故ABC正确，D错误
故选：ABC.
12．C
【分析】用分离常数法变形函数式，然后结合函数的单调性得出不等关系．
【详解】，
在上单调递减，则，所以．
故选：C．
13．(－∞，0]
【分析】根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；
当a≠0时，则，综上得a≤0．
故答案为：(－∞，0]
14．B
【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.
【详解】因为对任意都有，
所以函数在定义域上单调递增，
所以， 解得，
所以a的范围是
故选：B
15．D
【分析】转化，利用二次函数和反比例函数的性质分析单调性，列出不等关系控制范围求解即可
【详解】由题意，函数为开口向下的二次函数，对称轴为
故在单调递减，即
函数，在区间上是减函数
故，且或，即或
综上的取值范围是
故选：D
16．C
【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
17．D
【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．
【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为，
又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，
故选：D.
18．3
【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【详解】∵函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数.
故答案为：3
19． 2或 4
【分析】根据区间和二次函数对称轴的相对位置，结合二次函数的单调性分类讨论求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为：，
当时，即，函数在上单调递增，
所以，由，得，不满足，舍去；
当时，即时，函数在上单调递减，
所以，由，得，不满足，舍去，
当时，则，此时，
若时，即时，，
由，得，或舍去，
若时，即，，
由，得，或舍去，
综上所述：或，
故答案为： 2或 4
【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论是解题的关键.
20．
【分析】根据函数的单调性即可求解最值进而得值域.
【详解】的定义域为，
由于均在单调递增，因此在单调递增，且当时，，故值域为，
故答案为：
21．36
【分析】利用对勾函数的单调性即可求解.
【详解】f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，
由题意知＝3，∴a＝36.
故答案为：
22．（1），；（2）.
【解析】（1）由二次函数的性质可得，即可得解；
（2）令，转化条件为在上恒成立，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）的图象开口向上，且对称轴为，
在上单调递增，
.
，；
（2）由（1）得，
不等式即在上恒成立，
令，的图象开口朝上，
则要使在上恒成立，
，解得，
实数k的取值范围为.
【点睛】本题考查了由函数的最值求参数，考查了二次函数图象与性质的应用及恒成立问题的解决，属于中档题.
23．B
【分析】由一次函数的单调性得到的取值范围，再利用单调性即可比较与的大小.
【详解】函数在上是增函数，，解得：；
则，
故选：B.
24．B
【分析】根据已知，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，再利用单调性比较大小.
【详解】因为，所以，即，
因为定义在上的函数对任意的（）都满足，
所以在上单调递增，因为，，，
所以，即.故A，C，D错误.
故选：B.
25．
【分析】根据的单调性与定义域求解即可
【详解】由题意可知，函数在上单调递增，
则，
即且，即且，
解得且或，即
故答案为：.
26．B
【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案.
【详解】解：由题意，在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
27．D
【分析】由增函数的定义知，在上是增函数，即可得出的大小.
【详解】由可得函数在上是增函数，
所以.
故选：D.
28．A
【分析】首先根据题意得到在为增函数，的对称性有，再由单调性即可求解
【详解】当时，恒成立，
所以在为增函数.
又因为的对称轴为，
所以，
所以，即.
故选：A
29．C
【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.
【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得.
故选：C
30．A
【分析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
31．(1),
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值计算得解；
（2）根据定义法证明单调性；
（3）根据①及单调性计算得解.
(1)
得，则，
而，
且，则；
(2)
取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)
由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
32．(1)-2.
(2)答案见解析.
(3)
【分析】（1）利用赋值法求出的值；
（2）证明见解析；
（3）先把不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
(1)
因为对任意的实数，总有，
所以取，有，解得：.
取，有，因为，解得：.
(2)
任取, 且，记，
则.
因为时，，所以，即，
所以在定义域R上单调递减.
(3)
因为对任意的实数，总有，
所以取，有，解得：.
所以可化为
因为在定义域R上单调递减.
所以，解得.
即不等式的解集为
33．（1），；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用赋值法即可得到结果；
（2）利用定义证明函数的单调性；
（3）利用单调性化抽象不等式为不等式组即可.
【详解】解：（1）令得，（2）（2），（4），
令得，，；
（2）设；
先令，，则；
即；
令，，则（1）；
（1）；
；
；
；
即；
；
；
时，；
；
；
在上为减函数；
（3）（4）；
由得，（4）；
在上为减函数；
；
；
不等式的解为．
34．（1），（2）证明见解析，（3）.
【分析】（1）将中的赋值为0可得答案；
（2）利用定义证明即可；
（3）利用条件将不等式变形为，然后由单调性可得，然后分离变量求解即可.
【详解】（1）因为对任意的实数都有：
所以当时，，所以
（2）任取，且
所以，因为，所以
所以，即
所以在为增函数
（3）因为
所以
所以，即
因为在为增函数
所以，所以
所以
因为函数在上单调递增
所以
35．B
【分析】分离参变量得恒成立，只用可求解.
【详解】当时，由恒成立可得，
恒成立，
令，
，
当，即当时，
取得最小值为，
因为恒成立，所以，即.
故选:B．
36．ABD
【分析】根据基本初等函数的性质分别分析所给函数在上的单调性.
【详解】因为的开口向上，对称轴，函数在上单调递减，满足题意；
在上单调递减，满足题意；
在上单调递增，不满足题意；
在上单调递减，满足题意．
故选：ABD
37．AC
【分析】先求出函数的对称轴，再根据函数的对称性和单调性判断各个选项即可.
【详解】由，，可得图象关于对称，
由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；
对C，，C正确；
对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．
故选：AC.
38．
【分析】根据函数的单调性确定最值即可.
【详解】解：因为
，
所以此函数的定义域为，
又因为是减函数，
当
当
所以值域为
故答案为：．
39．(1)证明见解析；最小值为
(2)
【分析】（1）利用定义，设，证明即可，再结合函数图像及单调性，即可得出最小值；
（2）利用不等式的性质，用分离参数法得到，则不等式恒成立等价于 ，此时利用函数单调性求的最大值，即可得到答案.
(1)
由题，，，所以，
令，所以，
因为 ， ，所以，
故函数在上单调递增，在上的最小值为
(2)
由题，，
所以，由二次函数的单调性易得，当时，取得最大值为，故.
40．(1)证明见解析；，.
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明，再结合单调性求最值即可；
（2）根据（1）得，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可.
（1）
解：设是区间上的任意两个实数，且，
则
，
因为且，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，.
（2）
解：由（1）知在上的最大值为，
所以，即
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
41．(1)证明见解析
(2)增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）使用赋值法，先令求得，然后再令可证；
（2）先设，然后用代换中的，结合时，可证；
（3）先用赋值法求得，然后将不等式转化为，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.
（1）
令，得，解得
再令，则
所以
（2）
在上为增函数，证明如下：
设，则，
因为时，
所以
由（1）知
所以
所以在上为增函数.
（3）
因为，
所以，得，
又因为，
所以，
所以
由上可知，是定义在上为增函数
所以，原不等式，
解得，即原不等式的解集为.