双曲线及其标准方程教案
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文档简介
人教A版高中数学选修2-1
2.3.1 双曲线及其标准方程
奎屯市第一高级中学 刘杰
教学目标：
（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；
（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体
教学过程：
一、复习提问
问题1：奎屯市现准备在离高级中学1公里的地方建立一海洋公园，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：以1为半径的圆。
问题2：假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学与到三中的距离相等处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：直线
问题3：假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学与三中的距离和为2公里处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：椭圆
问题4：假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学的距离与三中的距离的差为0.2公里处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：？？？
二、新课探讨
1、设问 平面内与两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？
记：|F1F2|=2c，常数记为2a
学生思考（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧）。
（多媒体展示，用颜色区分线段，隐藏不要元素）
作图，得到一支曲线。
师：若到三中的距离与到高级中学的距离差为0.2公里呢？可得到另外一支。
1、双曲线定义： 平面内到两定点的距离的差 为常数 的动点的轨迹叫双曲线。
设问：椭圆中2a与2c有关系，那双曲线中呢？
对常数2a讨论
1.2a<2c 由图可知三角形MF1F2中两边之差小于第三边，当三点共线时，也满足条件2a<2c，一支曲线。
和椭圆类比：椭圆是和，两边之和大于第三边，双曲线是差！板书补充：差的绝对值！
2.2a=0时，F1F2的垂直平分线。
黑板上板书课题： 2.3.1 双曲线及其标准方程。
现在请同学们给出双曲线的准确定义.
师：板书补充完整
三、新课讲解
1、双曲线定义： 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线
即，（0<2a〈2c）叫双曲线的焦点，=2c(2c>0)叫做焦距。
强调：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数2a小于” “0<2a〈2c”
2、双曲线的标准方程：
师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？
生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简
提醒同学们需要注意
（1）牢牢抓住双曲线定义列式；
（2）教师化简，多媒体显示到，学生按椭圆思路化简（或者故意化简为 ），最后得到椭圆的标准方程。
学生：发现问题！！
则c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2 ，
学生解决问题：在上式中提出一“-”号即可得
使化简后的标准方程美观简洁，最后得到，当焦点在轴上，焦点是的双曲线标准方程是 ，
师：类比椭圆，如果焦点在y轴上，双曲线的标准方程又该是什么？
生：焦点在轴上的双曲线方程，只需把焦点在轴上的双曲线标准方中ｘ，ｙ互换即可，得 。
3、双曲线的标准方程的特点： （双曲线焦点不同的对比表）
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
（2）方程用“-”连接，右边为1.
请你说2个焦点分别在x轴，y轴上的双曲线方程？？
学生：（提问学生，老师板书方程）
(3)有关系式成立，且其中a与b的大小关系不定:可以为
（4）焦点位置由系数正负来定：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
老师强调：正的为，负的为
练一练1：判断焦点位置，求a，b，c
四、例题讲解
例1 已知双曲线的焦点为F1( -5 , 0 ),F2( 5 , 0 )，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
（学生活动，板书：三、求双曲线方程定义法；）
变式：
例2 假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学的距离与三中的距离的差为0.2公里处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？能求出其方程吗？
（视时间而定）课后练习：P55练习第2，3题
五、课后思考
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线
记：|F1F2|=2c，常数记为2a
1.当2a=2c时？ 两条射线。
2.当2a>2c时？ 无轨迹。
六、小结
1、双曲线的定义及其两类标准方程 .是焦点在轴上，焦点在轴上 有关系式成立
2、将双曲线的定义及其两类标准方程与椭圆的定义及其两类标准方程列表对比
七、布置作业
八、板书设计
九、课后记
解：
因此，双曲线的标准方程为
所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5
那么b2=c2-a2=25-16=9
根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8，
焦点在x轴上。
1.若|PF1|-|PF2|=8呢？
2.若||PF1|-|PF2||=10呢？
3.若||PF1|-|PF2||=12呢？
解: 设高级中学在A地，三中在B地；公园建在P处,可知P到A地比到B地远0.2公里.因为0.2<|AB|,所以公园P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设公园P的坐标为(x,y)，则
即 2a=0.2，a=0.1
因此公园可建位置的轨迹方程为
2.3.1 双曲线及其标准方程
奎屯市第一高级中学 刘杰
教学目标：
（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；
（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；
（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。
教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体
教学过程：
一、复习提问
问题1：奎屯市现准备在离高级中学1公里的地方建立一海洋公园，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：以1为半径的圆。
问题2：假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学与到三中的距离相等处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：直线
问题3：假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学与三中的距离和为2公里处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：椭圆
问题4：假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学的距离与三中的距离的差为0.2公里处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？
生：？？？
二、新课探讨
1、设问 平面内与两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？
记：|F1F2|=2c，常数记为2a
学生思考（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧）。
（多媒体展示，用颜色区分线段，隐藏不要元素）
作图，得到一支曲线。
师：若到三中的距离与到高级中学的距离差为0.2公里呢？可得到另外一支。
1、双曲线定义： 平面内到两定点的距离的差 为常数 的动点的轨迹叫双曲线。
设问：椭圆中2a与2c有关系，那双曲线中呢？
对常数2a讨论
1.2a<2c 由图可知三角形MF1F2中两边之差小于第三边，当三点共线时，也满足条件2a<2c，一支曲线。
和椭圆类比：椭圆是和，两边之和大于第三边，双曲线是差！板书补充：差的绝对值！
2.2a=0时，F1F2的垂直平分线。
黑板上板书课题： 2.3.1 双曲线及其标准方程。
现在请同学们给出双曲线的准确定义.
师：板书补充完整
三、新课讲解
1、双曲线定义： 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线
即，（0<2a〈2c）叫双曲线的焦点，=2c(2c>0)叫做焦距。
强调：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数2a小于” “0<2a〈2c”
2、双曲线的标准方程：
师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？
生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简
提醒同学们需要注意
（1）牢牢抓住双曲线定义列式；
（2）教师化简，多媒体显示到，学生按椭圆思路化简（或者故意化简为 ），最后得到椭圆的标准方程。
学生：发现问题！！
则c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2 ，
学生解决问题：在上式中提出一“-”号即可得
使化简后的标准方程美观简洁，最后得到，当焦点在轴上，焦点是的双曲线标准方程是 ，
师：类比椭圆，如果焦点在y轴上，双曲线的标准方程又该是什么？
生：焦点在轴上的双曲线方程，只需把焦点在轴上的双曲线标准方中ｘ，ｙ互换即可，得 。
3、双曲线的标准方程的特点： （双曲线焦点不同的对比表）
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
（2）方程用“-”连接，右边为1.
请你说2个焦点分别在x轴，y轴上的双曲线方程？？
学生：（提问学生，老师板书方程）
(3)有关系式成立，且其中a与b的大小关系不定:可以为
（4）焦点位置由系数正负来定：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
老师强调：正的为，负的为
练一练1：判断焦点位置，求a，b，c
四、例题讲解
例1 已知双曲线的焦点为F1( -5 , 0 ),F2( 5 , 0 )，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
（学生活动，板书：三、求双曲线方程定义法；）
变式：
例2 假设高级中学与三中的距离为1公里，海洋公园要求建在到高级中学的距离与三中的距离的差为0.2公里处，公园可以建的所有位置构成一个什么图形？能求出其方程吗？
（视时间而定）课后练习：P55练习第2，3题
五、课后思考
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线
记：|F1F2|=2c，常数记为2a
1.当2a=2c时？ 两条射线。
2.当2a>2c时？ 无轨迹。
六、小结
1、双曲线的定义及其两类标准方程 .是焦点在轴上，焦点在轴上 有关系式成立
2、将双曲线的定义及其两类标准方程与椭圆的定义及其两类标准方程列表对比
七、布置作业
八、板书设计
九、课后记
解：
因此，双曲线的标准方程为
所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5
那么b2=c2-a2=25-16=9
根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8，
焦点在x轴上。
1.若|PF1|-|PF2|=8呢？
2.若||PF1|-|PF2||=10呢？
3.若||PF1|-|PF2||=12呢？
解: 设高级中学在A地，三中在B地；公园建在P处,可知P到A地比到B地远0.2公里.因为0.2<|AB|,所以公园P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设公园P的坐标为(x,y)，则
即 2a=0.2，a=0.1
因此公园可建位置的轨迹方程为