课时分层作业51 三角函数的应用

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课时分层作业(五十一)　三角函数的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来 ( http: / / www.21cnjy.com )回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)21教育网
A．2π s　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acos－3
4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)21cnjy.com
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
5．如图是函数y＝sin x(0 ( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气 ( http: / / www.21cnjy.com )温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.www-2-1-cnjy-com
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．21*cnjy*com
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
10．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[等级过关练]
1．车流量被定义为单位时间内通 ( http: / / www.21cnjy.com )过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
2．如图，设点A是单位圆上的一定点， ( http: / / www.21cnjy.com )动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)2·1·c·n·j·y
A　　　　B　　 　C　　　　D
3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ( http: / / www.21cnjy.com )＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
4．已知角φ的终边经过点P( ( http: / / www.21cnjy.com )1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________.【出处：21教育名师】
5．心脏跳动时，血压在增加或减少． ( http: / / www.21cnjy.com )血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：【版权所有：21教育】
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
答案与解析
[合格基础练]
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来 ( http: / / www.21cnjy.com )回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)21教育网
A．2π s　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
D　[依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.]
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x
C　[观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适，故选C.]21·cn·jy·com
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acos－3
C　[当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0.故选C.]
4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)21cnjy.com
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
A　[由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2 A＝3.
T＝15，则ω＝.故选A.]
5．如图是函数y＝sin x(0 ( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A　[当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气 ( http: / / www.21cnjy.com )温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.www-2-1-cnjy-com
20．5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]2-1-c-n-j-y
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．21*cnjy*com
y＝2sin　[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1,2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.]
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．www.21-cn-jy.com
7　[函数y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解]　(1)由函数易知，当x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.21教育名师原创作品
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．
10．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[解]　建立如图所示的平面直角坐标系
(1)设φ(0≤φ≤2π) ( http: / / www.21cnjy.com )是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为t，即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，21世纪教育网版权所有
由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.
(2)当50＋40cosπt≥70时，解之得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.
即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70 m.
[等级过关练]
1．车流量被定义为单位时间内通 ( http: / / www.21cnjy.com )过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
C　[当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.]21*cnjy*com
2．如图，设点A是单位圆上的一定点， ( http: / / www.21cnjy.com )动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)2·1·c·n·j·y
A　　　　B　　 　C　　　　D
C　[令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.]
3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ( http: / / www.21cnjy.com )＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
　[因为Asin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]
4．已知角φ的终边经过点P( ( http: / / www.21cnjy.com )1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________.【出处：21教育名师】
－　[由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为
，则由T＝＝，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－.]
5．心脏跳动时，血压在增加或减少． ( http: / / www.21cnjy.com )血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：【版权所有：21教育】
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.21·世纪*教育网
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
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