课时分层作业47 两角和与差的正切公式（含解析）

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课时分层作业(四十七)　两角和与差的正切公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)
A．2　　　　　　 B.
C．－2 D．－
2.的值等于(　　)
A．tan 42° B．tan 3°
C．1 D．tan 24°
3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(　　)
A. B．7
C．－ D．－7
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)
A. B.
C. D.
5．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　　)
A.m B.(1－m)
C.(m－1) D.(m＋1)
二、填空题
6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
7．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.21教育网
8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
三、解答题
9．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox ( http: / / www.21cnjy.com )轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.21cnjy.com
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[等级过关练]
1．若2cos α－sin α＝0，则tan等于(　　)
A．－　　　　B.　　　　C．－3　　　　D．3
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于(　　)21·cn·jy·com
A．30° B．45° C．120° D．60°
3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
4．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为________．
5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．www.21-cn-jy.com
答案与解析
[合格基础练]
一、选择题
1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)
A．2　　　　　　 B.
C．－2 D．－
C　[∵tan＝＝＝－，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，∴a＝－2.]
2.的值等于(　　)
A．tan 42° B．tan 3°
C．1 D．tan 24°
A　[∵tan 60°＝，∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.]
3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(　　)
A. B．7
C．－ D．－7
D　[∵tan(180°－α)＝－tan α＝－，
∴tan α＝，
∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)
A. B.
C. D.
C　[tan＝tan＝＝＝.]
5．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　　)
A.m B.(1－m)
C.(m－1) D.(m＋1)
B　[由公式变形tan α＋tan ( http: / / www.21cnjy.com )β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)21世纪教育网版权所有
＝(1－m)．]
二、填空题
6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
　[tan＝tan
＝
＝＝.]
7．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.21教育网
　[由题意得tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又A＋B＋C＝π，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，
∴C＝.]
8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．
1　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°
＝1.]
三、解答题
9．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解]　(1)∵tan＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox ( http: / / www.21cnjy.com )轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.21cnjy.com
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解]　由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，
tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝
＝＝，
∴tan(α＋2β)＝
＝＝－1.∵α，β为锐角，
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
[等级过关练]
1．若2cos α－sin α＝0，则tan等于(　　)
A．－　　　　B.　　　　C．－3　　　　D．3
B　[tan＝＝＝.]
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于(　　)21·cn·jy·com
A．30° B．45° C．120° D．60°
D　[由公式变形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C
＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，
∴tan3B＝3，
∴tan B＝，B＝60°.]
3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
　[由条件知＝＝3，
则tan α＝2.
因为tan(α－β)＝2，
所以tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.]
4．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为________．
或1　[∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg (10a)＋lg＝1－lg (10a)lg，
1＝1－lg (10a)lg，
∴lg (10a)lg＝0，
∴lg (10a)＝0或lg＝0，
解得a＝或a＝1.]
5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．www.21-cn-jy.com
[解]　假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，
所以tan＝＝.
又tantan β＝2－，所以tan＋tan β＝3－，因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，2·1·c·n·j·y
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾， ( http: / / www.21cnjy.com )所以tan＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
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