课时分层作业50 匀速圆周运动的数学模型 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（含解析）

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课时分层作业(五十)　函数y＝Asin(x＋φ)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
2．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)www.21-cn-jy.com
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜，则(　　)【出处：21教育名师】
A．B＝4 B．φ＝
C．ω＝1 D．A＝4
5．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象(　　)2-1-c-n-j-y
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
二、填空题
6．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin的图象向右平移________个单位．
7．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin (ωx＋φ)(其中0x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式应是________．21教育网
三、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
10．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．21教育名师原创作品
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．21*cnjy*com
[等级过关练]
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的部分图象不可能是(　　)
2．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．21世纪教育网版权所有
3．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
4．函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的所有零点之和为________．
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x －
y －1 1 3 1 －1 1 3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
答案与解析
[合格基础练]
一、选择题
1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
A　[当x＝π时，y＝sin＝－排除B、D.
当x＝时y＝sin 0＝0，排除C，故选A.]
2．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
A　[y＝sin＝sin，向左平移个单位长度后为y＝sin＝sin 2x，为奇函数．]
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)www.21-cn-jy.com
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
C　[由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．]2·1·c·n·j·y
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜，则(　　)【出处：21教育名师】
A．B＝4 B．φ＝
C．ω＝1 D．A＝4
B　[由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4.
所以A＝＝2，B＝＝2.
由周期T＝＝4知ω＝2.
由f＝4得2sin＋2＝4，
sin＝1，又|φ|＜，故φ＝.]
5．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos ωx的图象(　　)2-1-c-n-j-y
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
A　[由已知得＝2×，故ω＝2.
y＝cos 2x向右平移个单位可得y＝cos 2＝cos的图象．]
二、填空题
6．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin的图象向右平移________个单位．
　[由于y＝sin＝sin，故要得到y＝sinx的图象，只要将y＝sin的图象向右平移个单位．]【版权所有：21教育】
7．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．
y＝sin　[y＝sin3x＋
y＝sin＝sin
y＝sin，
故所得的函数解析式是y＝sin.]
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin (ωx＋φ)(其中0x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式应是________．21教育网
y＝2sin　[在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又因为0所以A＝2.
因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
[解]　(1)由图象知A＝1.f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，
将点代入f(x)的解析式得sin＝1，
又|φ|＜，∴φ＝.故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)变换过程如下：
y＝sin x图象上的y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象,向左平移个单位y＝sin的图象．21cnjy.com
10．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．21教育名师原创作品
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．21*cnjy*com
[解]　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin2ωx＋，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0＜ω＜1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－，2kπ＋(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故＜α＋＜，
所以sin＝，
所以sin α＝sin
＝sin·cos－cos·sin
＝×－×＝.
[等级过关练]
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的部分图象不可能是(　　)
D　[当a＝0时，f(x)＝1，是选项C，当a≠0时，
函数f(x)＝1＋asin ax的周期T＝，
振幅为|a|，所以当|a|＜1时，T＞2π.
当|a|＞1时T＜2π，由此可知A，B有可能出现，D不可能．]
2．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．21世纪教育网版权所有
　[函数y＝sin 2x的图象向右平移 ( http: / / www.21cnjy.com )后得到y＝sin[2(x－φ)]的图象，而x＝是对称轴，即2＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－(k∈Z)．又φ＞0当k＝－1时，φ取得最小值.]【来源：21cnj*y.co*m】
3．函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
②③　[f＝3sin
＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图象，故④错．]21·cn·jy·com
4．函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的所有零点之和为________．
8　[函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即
方程2sin πx＝的根，
作函数y＝2sin πx与y＝的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．
y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，
令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x －
y －1 1 3 1 －1 1 3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解]　(1)设f(x)的最小正周 ( http: / / www.21cnjy.com )期为T，则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1.(答案不唯一)21·世纪*教育网
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，∵x∈，www-2-1-cnjy-com
∴t∈，如图所示，
当sin t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．21*cnjy*com
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