3.1函数的概念及其表示 同步练习（含解析）

3.1函数的概念及其表示同步练习
一、选择题（共7题）
已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
设 为实数，则 与 表示同一个函数的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
若 满足：对任意的实数 ，，都有 且 ，则
A． B． C． D．
已知函数 则函数 的图象是
A． B． C． D．
某学校要召开学生代表大会，规定各班每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 ( 表示不大于 的最大整数）可以表示为
A． B． C． D．
设函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时，．当 时，函数 的值域是
A． B． C． D．
设函数 ，则 的值为
A． B． C． D．
二、多选题（共3题）
若函数 具有下列性质：①定义域为 ；②对于任意的 ，都有 ；③当 时，，则称函数 为 的函数．若函数 为 的函数，则以下结论正确的是
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为单调递减函数 D． 为单调递增函数
对于函数 ，若存在区间 ，当 时， 的值域为 ，则称 为 倍值函数．下列函数为 倍值函数的是
A． B．
C． D．
若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 ， 与函数 ， 为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是
A． B．
C． D．
三、填空题（共5题）
已知函数 ，若 ，则 ．
已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
函数 （ 且 ）的值域为 ．
若函数 （）满足 ，且 的最大值为 ，则 ．
已知函数 满足： 对任意 ，恒有 ； 当 时，．则 ；方程 的最小正数解为 ．
四、解答题（共5题）
已知函数 ．
(1) 求 ，，；(2) 若 ，求 ．
已知函数 满足 ，其中 ，求函数 的解析式．
已知函数 ．
(1) 若 ，求实数 的值；
(2) 画出函数的图象，并求出函数 在区间 上的值域．
已知定义在 上的函数 单射（即如果 ，且 ，那么 ），对任意的 ，有 ，，当 时，求 的解析式．
时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量 （单位：千套）与销售价格 （单位：元 / 套）满足的关系式为 ，其中 ， 为常数．已知销售价格为 元/套时，每日可售出套题 千套．
(1) 求 的值；
(2) 假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留 位小数）
答案
一、选择题（共7题）
1. 【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ．
2. 【答案】B
【解析】A，C中两个函数定义域不同，D中两个函数对应关系不同，故均不是同一个函数．B中两个函数定义域相同，对应关系也相同，为同一个函数．
3. 【答案】B
【解析】令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
4. 【答案】A
【解析】当 时，，即图象过点 ，显然D错；
当 时，，即图象过点 ，C错；
当 时，，即图象过点 ，B错．
故选A．
5. 【答案】B
【解析】方法一 特殊取值法，若 ，排除 C、 D，若 ，排除 A，所以选B．
方法二 设 时，，当 时，．
6. 【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
当 时，，
所以 ．
故当 时，函数 的值域是 ．
7. 【答案】A
【解析】因为 时，，
所以 ，；
又 时，，
所以 ．
故选A．
二、多选题（共3题）
8. 【答案】A；C
【解析】 定义域关于原点对称，令 则有 ，令 ，则有 ，所以 ，故 是奇函数；令 ，，且 ，所以 ，又 且 ，，则 ，即 ，所以 ，所以 是单调减函数．
9. 【答案】A；B；D
【解析】若函数 存在“ 倍值区间”，则函数 ，在定义域内至少存在两个不相等的实根，
对于选项A，，解得 或 ，函数存在“ 倍值区间”；
对于选项B，令 ，解得 或 ，函数存在“ 倍值区间”；
对于选项C，令 ，无解．
故函数不存在“ 倍值区间”；
对于选项D，令 ，即 或 ，故函数存在“ 倍值区间”．
10. 【答案】A；B；D
【解析】对于A，，当定义域分别为 与 时，值域均为 ，
所以 为同族函数，所以A正确；
对于B，，当定义域分别为 与 时，值域均为 ，
所以 为同族函数，所以B正确；
对于C， 在定义域 内，
函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，
不满足定义域不同时，值域相同，所以C错误；
对于D， 定义域为 ，
当定义域分别为 与 时，值域均为 ，所以D正确；
对于E， 定义域为 ，且函数在 上单调递增，
所以不满足定义域不同时，值域相同，所以E错误．
综上，故选ABD．
三、填空题（共5题）
11. 【答案】
【解析】由 知
或 或
所以 ．
12. 【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
所以不等式 的解集为 ，
① 时， 恒成立，满足题意；
② 时， 解得 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
13. 【答案】
【解析】 ，
因为 且 ，
所以 且 ，可得 或 ．
故函数的值域为 ．
14. 【答案】
【解析】由 可得 的图象关于直线 对称，则 且 ，即 ．又 的最大值为 ，则 ，将 代入可得 ，．故 ．
15. 【答案】 ；
【解析】因为当 时，，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，；
令 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以当 时，，
令 ，则 ，，
又 ，
所以当 时，，
令 ，则 ，，
又 ，
所以当 时，，
同理可得：当 时，，
令 ，则由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
可推出以下都小于 ．
所以方程 的最小正数解为 ．
四、解答题（共5题）
16. 【答案】
(1) ，，．
(2) 因为 ，
所以 ，
所以 或 ．
17. 【答案】在原式中以 替换 ，得 ，
于是得
消去 ，得 ．
故 ．
18. 【答案】
(1) 当 时，，得 ，
当 时，，得 ．
综上知 或 ．
(2) 画出函数 的图象如图所示：
因为 ，，，
所以由图象知函数 的值域为 ．
19. 【答案】由函数 单射，且 ，得 是常数，令 ，则 ，且
因此 ，所以 ，
由 ，得
由①②及函数 单射得 ，解得 ，
所以 ．
20. 【答案】
(1) 因为 时，，代入 ，
得 ，解得 ．
(2) 由（1）可知，套题每日的销售量 ，
所以每日销售套题所获得的利润
，
从而 ．
令 ，得 ，且在 上，，函数 单调递增；在 上，，函数 单调递减．
所以 是函数 在 内的极大值点，也是最大值点，
所以当 时，函数 取得最大值．
故当销售价格为 元 / 套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．