空间向量解决线线角、线面角问题--重难点挑战（含解析）

空间向量解决线线角、线面角问题
如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角为( )
A. B. C. D.
如图，在三棱柱中，侧面是边长为的菱形，，，，以下正确的结论有( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线直线
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 三棱柱的体积为
如图，菱形边长为，，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 四面体的外接球表面积为
C. 与所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
如图所示，在四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，且，点是的中点，则下列结论描述正确的是( )
A. 平面
B. ，两点间的距离等于
C. 与平面所成的角为
D. 三棱锥的体积为
已知是圆柱底面圆的一条直径，是圆柱的一条母线，为底面圆上一点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
在直三棱柱中，已知，二面角的大小为，点到平面的距离为，直线与直线所成角的余弦值为 ．
如图，在中，，，，是的中点，现将沿折成直二面角，如图．
求异面直线与所成角的余弦值；
线段上是否有一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．
如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
求证：直线平面
直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，和分别是，和的中点．
证明：平面．
求异面直线与所成角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量求解线面夹角的正弦值，属于中档题．
由题计算的长度，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，求解平面 的法向量为 ，进而计算可得结果．
【解答】
解：由已知得 底面 ，且 ，
所以 ，
解得 ．
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
则，， ．
设平面的法向量为 ，
则由，得
即，得，令，得，
所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量求线面角，属于中档题．
由题意可知，平面的法向量为，直线的方向向量为，再根据线面角的正弦值，即可求出结果．
【解答】
解：因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为
，，
所以，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
用平移直线法判断；由平面即可判断；
用向量数量积计算判断即可；用三棱柱与三棱锥体积公式计算判断．
本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面成角问题，考查了体积计算问题，属于中档题．
【解答】
解：因为侧面是边长为的菱形，所以，
又因为，，
因为，所以，
因为，，由勾股定理逆定理知，
建系如图，，，，，，，
对于，因为，所以直线与直线所成的角为，所以对；
对于，因为直线平面，直线平面，所以直线直线，所以对；
对于，令，因为，，
所以平面的法向量是，又，
所以直线与平面所成角的正弦值为，所以对；
对于，三棱柱的体积为，
所以错．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，主要考查数学运算、逻辑推理等能力，是中档题．
将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】
解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，．
，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
对于，，，，，
，，
，与不垂直，故A错误；
对于，取中点，连接，
，，
过作平面，四面体的外接球球心在直线上，
设，由，得，解得，，
四面体的外接球表面积为：，故B正确；
对于，，，
设与所成角为，
则，
与所成角的余弦值为，故C正确；
对于，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
直线与平面所成角的正弦值为：
，故D正确．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，空间中的距离，棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
根据选项逐一分析判断计算即可．
【解答】
解：平面平面，平面平面，底面为矩形，
，平面，平面，而，若平面，则与过一点向平面作垂线只能做一条矛盾，故A错误；
侧面是正三角形，取的中点，
，
，
，
以为原点，所在直线为轴，过作的平行线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则， ，
点是的中点，
，
所以，故B正确；
由空间坐标系可知，
所以．
设平面的一个法向量为．
则
令，解得，
所以．
又，
所以，
又线面角的范围为可知直线与平面所成的角的余弦值为，
则直线与平面所成的角为，故C错误；
，点是的中点，
点到平面的距离为点到平面的距离的一半，
即，，
，故D正确；

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．
【解答】
解：是圆柱底面圆的一条直径，，
，，
，；
是圆柱的底面圆的直径，，
又，四边形为正方形，设，
如图建立空间直角坐标系，
可知，，，，
设平面的法向量为，，，
，即，
取，则，
又，
设直线与平面所成角为，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
由已知求得，，再运用向量的数量积运算求得，的夹角的余弦值，由此可求得答案．
【解答】
解：由直三棱柱的性质得，平面平面，
所以为二面角的平面角，所以，
又点到平面的距离为，
由于侧面与底面垂直，
根据面面垂直的性质定理得，点到的距离为，
所以在中，，
，
所以，
所以，
所以
，
，
，
所以
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故答案为：．

8.【答案】解：由题知，在中，，，
知，，
利用等面积法，知，，．
分别以所在直线为轴轴轴，为坐标原点，
建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，，
，，
又异面直线所成角的范围为
，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，，
设，
有
，
设平面的法向量为，
则
取，，，
，
，
解得或，
由，故，
故这样的点存在，位于线段上靠近点的三等分点．
【解析】本题主要考查利用空间向量研究异面直线所成角、直线与平面所成角，涉及空间向量共线的充要条件、数量积及运算律、加减及数乘运算
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，可得，，利用夹角公式可计算求出异面直线与所成角的余弦值；
设，可求得，，
设平面的法向量为得
根据直线与平面所成角的计算，得，求出的值，即可解答．
9.【答案】解：证明：，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
，
因为为直径，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
直线平面．
解：存在．此时，
理由如下：
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图，
则，，，
，，
，．
，
设，平面的一个法向量为，
则
取，得，
又，
则，
依题意，得，
，
直线上存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余，此时．

【解析】本题考查线面垂直，直线与平面垂直的证明，满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．
利用三角形中位线定理推导出面，从而得到，再由已知条件推导出面，由此证明面 以为坐标原点，为轴， 为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，，利用线面所成角与线线所成角互余求线段长度．
10.【答案】证明：因为平面，平面，
所以．
又，是的中点，
所以．
又，平面，且，
所以平面．
解：因为平面，平面，平面，
所以，．
又因为，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则即
令，则，，所以．
设直线与平面所成的角为．
．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了线面垂直的判定和空间向量求直线与平面所成的角的正弦值，属于中档题．
由等腰三角形的性质可得，又平面，得，进而利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
证得，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，的坐标，设直线与平面所成的角为，利用即可求解．
11.【答案】解：证明：取的中点，连接，D.
因为和分别是和的中点，所以，，，
因为，所以，，，
则四边形为平行四边形，则D.
因为平面，平面，所以平面．
由三棱柱的侧棱与底面垂直，则面，则，，
又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
所以，，
而异面直线所成角的范围为
故A与所成角的余弦值为．

【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量求解异面直线的夹角，属于中档题．
取的中点，连接，D.得到四边形为平行四边形，则D.再用线面平行的判定定理即可证明．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，求得，，得到，，即可求得答案．
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