与直线、圆有关的最值问题--重难点挑战（含解析）

与直线、圆有关的最值问题
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知点是圆：上一个动点，且直线：与直线：相交于点，则的取值范围是．( )
A. B.
C. D.
已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
已知为圆上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知圆，直线，则下列结论正确的是( )
A. 当时，直线与圆相离
B. 为圆上的点，则的最大值为
C. 若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是
D. 若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，则的取值范围是
已知实数，满足方程，则下列说法错误的是( )
A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
已知点，分别为圆，上的动点，为轴上一点，则的最小值为
已知直线与轴、轴相交于，两点，点在圆上移动，则面积的最大值和最小值之差为 ．
已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知圆．
已知点为圆上的点，求的范围；
已知点为圆上的点，求的取值范围．
本小题分
已知直线的方程为圆的方程为．
若为圆上任意点，求点到直线的距离的最大值与最小值
若为直线上一点，过引圆的切线，求此切线长的最小值．
本小题分
实数，满足，求：
的最大值和最小值；
的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系中的最值问题、直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、两点间的距离公式，属于中档题．
分别求出两点直线经过的定点坐标，判断出交点在以为圆心、为半径的圆上，利用两点间的距离公式求出圆心距，判断该圆与圆的位置关系，通过圆心距和两圆半径求出的取值范围．
【解答】
解：直线的方程为，即，
所以直线经过定点，
直线的方程为，即，
所以直线经过定点，
又两直线垂直，所以点在以为直径的圆上，
该圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为两圆圆心距，所以两圆相离，
所以的最小值为，
最大值为．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，与圆有关的最值问题，体现了转化及数形结合的数学思想，属于一般题．
先根据两圆的方程求出圆心和半径，把求的最大值转化为求，即可得解．
【解答】
解：设圆的圆心为，则 ，圆的圆心为，则 ，这两个圆的半径都是．
要使最大，需最大，且最小，
最大值为，的最小值为，
故最大值是
，
故的最大值为．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，属于中档题．
根据题意，求出圆心与半径，表示点与连线的斜率，结合图形，转化为点到直线的距离，即可求出结果．
【解答】
解：依题意，圆：的标准方程是，
圆心是，半径，
是圆上任意一点，表示点与连线的斜率，
如图所示：
数形结合可得，当过点的直线在图中的位置与圆相切时，取得最大值，
设此时直线的斜率是，
则直线方程是，即，
此时圆心到直线的距离等于半径，
，解得：或，
显然，
的最大值是．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的应用，注意分析方程的意义，属于中档题．
根据题意，将变形可得，可得其几何意义为以为圆心，为半径的圆，进而可得点为圆上的一点，设，则，可得其几何意义为圆上的一点到点距离的平方，由点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，，即，
其几何意义为以为圆心，为半径的圆，
设，则点为圆上的一点，
设，则，
其几何意义为圆上的一点到点距离的平方，
设，则，
则上的一点到点距离的最大值为，
故的最大值为．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用．
对于，由圆心到直线的距离与半径比较判断；对于，表示圆上的点与点距离的平方，求解最大值；对于，根据圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式求解；对于，利用，解得的取值范围．
【解答】
解：对于，当时，直线：，圆心到直线的距离为
，故直线与圆相离，故A正确；
对于，表示圆上的点与点距离的平方，
最大值为，故B正确；
对于，若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离满足，所以，
则的取值范围是或，故C错误；
对于，若直线上存在一点，圆上存在两点、，使，
则过点作圆的两条切线，切点为，，，
所以，则的取值范围是，故D正确．
故选ABD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆方程的应用，考查直线与圆相交弦长，考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
求直线被圆截得的弦长，令，，得到直线与圆有公共点从而求得、的范围；看成原点到圆上的距离的平方即可求解．
【解答】
解：实数，满足方程，
所以把看作是以为圆心，以为半径的圆；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
于是弦长，故A错误；
B.原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，故B错误．
令，，则两条直线都与圆有公共点，
所以，，
解得，，
所以的最大值为，的最大值为．
故CD正确；
故选AB．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的对称圆的方程的求法，圆与圆位置关系中的最值问题，两点距离公式的应用，属于中档题．
先求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，即可求出的最小值．
【解答】
解：如图：
圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为，
由图象可知当，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，
即．
故答案为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆位置关系中的最值问题，属于中档题．
根据题意得到和的坐标以及，再得到点到直线的距离的范围，结合三角形面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意得，，且，
动点在圆上移动，圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
故点到直线的距离的范围为，
故面积为．
故最大值和最小值的差为．
故答案为：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，点到圆上点的最值问题，属于中档题．
设出的坐标，利用求动点的轨迹，画出图形，数形结合即得答案．
【解答】
解：设点坐标，
，
，
，即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又点是圆上的动点，
如图，
由图可知，的最大值为．
故答案为．

10.【答案】解：圆的标准方程为，
圆心为，半径为，表示圆上动点与定点连线的斜率，
点在圆外，过点的直线恰为圆的切线，
设过点的斜率存在的切线方程为，
由点到直线的距离得到，解得，
如下图所示，的取值范围是
设，则，
则，
，
故可得，
所以的取值范围是．
【解析】本题主要考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，涉及点到直线的距离、直线的斜率、两点间距离公式，属于中档题．
由题意得到圆的标准方程及圆心与半径，表示动点与定点连线的斜率，求得过点的切线的斜率即可求解．
设，则，则，，继而写出范围即可．
11.【答案】解：圆的圆心的坐标为半径为，
点到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为，最小值为．
设，则，即．
设切点为，如图，，
则切线长，
，
当时，则的长度最短，的最小值为．

【解析】本题主要考查了直线与圆的位置关系中的最值问题，涉及点到直线的距离公式，属于中档题．
先求出圆心到直线的距离公式，进而得出点到直线的距离的最大值与最小值；
设，则，设切点为，则切线长，利用二次函数的性质求出结果．
12.【答案】解：可化为，
圆心为，半径为，
表示圆上的点与点连线的斜率，
显然，过点圆的切线的斜率存在，
设圆的切线斜率为，圆的切线方程为，
即，由，或，
结合图形知，的最大值为，最小值为．
令，表示过圆上的点且斜率等于的直线在轴上的截距，
当直线和圆相切时，有，，
故的最大值为，最小值为．

【解析】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想，是中档题．
先求出所给的圆的圆心和半径， 表示圆上的点与点连线的斜率设出过点的圆的切线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求得的值，可得的最大值和最小值．
将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可．
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