圆系方程的运用--重难点挑战（含解析）

圆系方程的运用
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若圆C的圆心在直线上，且经过圆和圆的交点，则圆C的圆心到直线的距离为.( )
A. 0 B. C. 2 D.
已知直线与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的面积最小圆的方程为
A. B.
C. D.
已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A，若点A又在直线l：上，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）
设有一组圆：，下列命题中正确的是( )
A. 不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B. 存在圆经过点
C. 存在定直线与圆都相切
D. 经过点的圆有且只有一个
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
已知圆M：和点，过点P作圆M的切线，切点分别为A，B，则外接圆的方程为__________.
实数a变化时，方程表示的曲线恒过两个定点A、B，则AB的长为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知圆与圆相交于A 两点.
求公共弦AB的长；
求圆心在直线上，且过A 两点的圆的方程；
求经过A 两点且面积最小的圆的方程.
本小题分
已知圆和点，直线l过点A与圆交于两点．
若以PQ为直径的圆的面积最大，求直线l的方程；
若以PQ为直径的圆过原点，求直线l的方程．
本小题分
已知曲线，
当a取何值时，方程表示圆？
求证：不论a为何值，曲线C必过两定点.
当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值.
本小题分
已知圆C的方程为：
试求m的值，使圆C的周长最小；
求与满足中条件的圆C相切，且过点的直线方程.
求证：圆C过定点，并求出定点坐标.
本小题分
求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程以及圆系方程的应用、点到直线的距离，属于中档题.
设出过两圆交点的圆系方程，，由圆心在直线上，可求得，可得圆心坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出结果.
【解答】
解：根据题意，要求圆经过两圆和的交点，
设其方程为，
变形可得，
其圆心为，
又由圆心在直线上，
，
解可得，则圆心坐标为，
所以圆C的圆心到直线的距离为：
故选
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆系方程及其应用和圆有关的最值问题，由题意设所求圆的方程为，当圆心在直线上圆的面积是最小的，解得，即可得出圆的方程.
【解答】
解：由于，即，
故设所求圆的方程为，
即，其圆心为，
当圆心在直线上圆的面积是最小的，
故，解得，
所以所求圆的方程为
故选
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查曲线过定点，点在直线上及整体代入的思想，属于基础题.
先求出定点A，再代入直线l，从而求出
【解答】
解：方程可化为，
要使式子无论m取何值都成立，
则，解得或
因为点A在第三象限，所以点
因为点A又在直线l：上，
所以，即，
所以
故选

4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程以及圆系方程的应用，属于基础题.
设出过两圆交点的圆系方程，求出圆心坐标，带入直线方程即可．
【解答】
解：根据题意，要求圆经过两圆和的交点，
设其方程为，
变形可得，
其圆心为，
又由圆心在直线上，
，
解可得，则圆的方程为：，
即
故选：

5.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据题意，分析圆的圆心与半径，由此分析选项，即可得答案．
【解答】
解：由题知，圆心为，半径为2，
依次分析选项：
对于A选项，因为圆心为，所以圆心在直线上，故A正确；
对于B选项，将代入圆的方程可得，
化简得，，故方程无解，故B错误；
对于C选项，C选项为存在量词命题，不妨设直线与圆都相切，
所以圆心到直线的距离，
所以，
即或这两条直线始终与圆相切，故C正确；
对于D选项，将代入圆的方程可得，解得，故D错误.
故本题选

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的切点坐标，圆的方程的求解，为一般题.
【解答】
解：由题意，由圆外一点引圆的两条切线，切点弦方程：，即直线AB：，的外接圆与圆M的交线为AB，且过点P的外接圆：，代入得：即外接圆方程为

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线过定点问题及两点间的距离公式，属于基础题.
将方程化为，由可求A、B的坐标，然后利用两点之间的距离公式求解即可.
【解答】
解：方程可化为，
由可得或，
实数a变化时，方程表示的曲线恒过两个定点、，
则，
故答案为

8.【答案】解：由两圆方程相减即得，此为公共弦AB所在的直线方程．
圆心，半径，
到直线AB的距离为，
公共弦长；
法一：由，
得或，
不妨令，，
中点为，AB中垂线的斜率为，
中垂线的方程为，即，
由，得，
圆心为，半径，
所求圆的方程为；
法二：圆的圆心不在上，
符合题意的圆不是圆，
设所求的圆的方程为
，
即，
圆心为，在上，
，
，
所求圆的方程为；
法一过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，
由得AB中点即圆心为，半径为，
所求圆的方程为
法二过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，
由得圆心在上，
，
，
所求圆的方程为，即
【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题．
先求公共弦AB所在的直线方程，再求出到直线AB的距离，即可求公共弦AB的长；
法一先求出A、B坐标，AB中垂线的方程，联立求出圆心坐标即可；
法二因为圆的圆心不在上，所以符合题意的圆不是圆，利用圆系方程求解；
法一过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，求出圆心和半径即可．
法二利用圆系方程可得圆心在上，求解即可.
9.【答案】解：圆可化为圆，
则圆心为，
以PQ为直径的圆的面积最大，
直线l过圆心，
直线l过，
则所求直线方程为，即；
设直线l的斜率不存在时，
求得，
则，
即，
显然满足题意；
当斜率存在时，设直线l方程为，
以PQ为直径的圆的方程为，
将代入圆，整理可得 ①
圆心坐标为，代入，可得 ②
由①②可得，，
直线l的方程为，
综上可得直线l的方程为或

【解析】本题考查直线与圆的位置关系、直线与圆中的最值问题、圆系方程的应用，属中档题.
解题时关键在于能够明确直线被圆截得的弦长最大时，直线过圆心；另外需要注意以直线被圆截得的弦为直径的圆的方程为：
面积最大时，PQ过圆心，由点A和圆心坐标，得到直线方程；
当斜率不存在时符合题意，当斜率存在时，假设直线方程，根据圆系方程可得到圆的方程，利用圆过原点，得到关于和k的方程；再利用圆心在直线上，得到另一个方程，解方程组得到结果.
10.【答案】解：当时，方程化为，它表示一条直线；
当时，方程化为，它表示圆．
证明：方程变形为
若对于a取任何值，上式恒成立，
则有
解得或
曲线C过定点和
解：由知曲线C过定点A，B，
在这些圆中，当以线段AB为直径时圆的面积最小，
此时，圆的圆心在直线上，
，
则

【解析】本题考查了圆的标准方程，点与圆的位置关系及判定，直线和圆的方程的应用，属于拔高题.
当时，方程化为，它表示圆；
方程变形为，可得曲线C过定点和；
当以线段AB为直径时圆的面积最小，圆的圆心在直线上，进而得出圆面积最小时a的值．
11.【答案】解：，
配方得：，
当时，圆C的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
由得，圆的方程为：
当直线与x轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与x轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即
综上，直线方程为或
整理得，
令，解得或，
即圆C过定点和
【解析】本题考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系，属于中档题.
将圆方程化为标准方程，，当半径最小时周长最小，即可确定m的值；
根据直线与圆相切，分为斜率存在和斜率不存在讨论，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线方程；
根据圆系方程即可求得定点坐标.
12.【答案】解：解法一：联立得解得或
点和都在所求圆上，所求圆的圆心在x轴上.
又圆心在直线上，所求圆的圆心为，半径，
所求圆的方程为
解法二：设所求圆的方程为，
整理得，
圆心为
圆心在直线上，
，解得，
所求圆的方程为

【解析】本题考查求圆的方程，圆与圆的位置关系的应用.考查计算能力，属于基础题.
解法一：联立两圆方程，求出交点，得到所求圆的圆心在x轴上，利用圆心在直线上，求出圆心为，得到圆的半径，即可写出圆的方程；
解法二：设所求圆方程为，通过整理，不难表示出该圆的圆心坐标；接下来根据该圆的圆心在直线上，故将所得圆心坐标代入，解方程即可得解.
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