直线和圆的方程 核心素养练（含解析）

直线和圆的方程核心素养练
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线，和圆“相切”，则应满足( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是( )
A. B. 或 C. 或 D.
数学家欧拉在年提的定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，若家欧拉线方程为，则顶点的坐标是( )
A. B. C. D.
古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆已知，是平面上的两定点，，动点满足，，动点在直线上，则距离的最小值为( )
A. B. C. D.
人教版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数，，，，，，为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图为该螺旋线在正方形边长为，，，，，的部分，如图建立平面直角坐标系规定小方格的边长为，则接下来的一段圆弧所在圆的方程为( )
A. B.
C. D.
唐诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为．( )
A. B. C. D.
数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，的最小值为( )
A. B. C. D.
王老师在课堂与学生探究直线时，有四位同学分别给出了一个结论．
甲：直线经过点．
乙：直线经过点．
丙：直线经过点．
丁：直线的斜率为整数．
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
我们将横、纵坐标均为整数的点称为“整点”，则直线( )
A. 存在，使得直线上无整点
B. 存在，使得直线上恰有一个整点
C. 存在，使得直线上恰有两个整点
D. 存在，使得直线上有无数个整点
三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
一曲线族的包络线是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为 ；若曲线是直线族的包络线，则的长为 ．
大约在多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早多年．现有一动点满足，其中为坐标原点，若，则的最小值为 ．
写出一个同时具有下列性质的直线的方程： ．
直线经过点；
直线与，轴所围成的面积为．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知两圆，，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切．
求动圆圆心的轨迹方程
是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点、，且满足若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
本小题分
某工厂看作一点位于两高速公路看作两条直线与之间已知到高速公路的距离是千米，到高速公路的距离是千米，以为坐标原点，以为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
求直线的方程；
现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度．
本小题分
为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过、、三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系．
试写出，的坐标，并求两个观测点，之间的距离；
某日经观测发现，在该平台正南处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
本小题分
已知圆：，直线：．
证明直线与圆一定有两个交点；
求直线与圆相交的最短弦长，并求弦长最短时对应的直线方程．
本小题分
已知直线经过两条直线和的交点，且______，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．
与直线垂直；
在轴上的截距为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于拔高题．
先得到圆心为，半径为，当两平行直线和圆相交时，由，求得的范围，当两平行直线和圆相离时，由，求得的取值范围．再把以上所求得的的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求．
【解答】
解：将圆的方程化为标准式，则圆心为，半径为，
当两平行直线和圆相交时，有，解得．
当两平行直线和圆相离时，有，解得或．
故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求．
故所求的的取值范围是或，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及判定的应用，考查圆的标准方程，直线方程，属于较难题．
由已知可得圆的方程为：，对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，可得当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，利用直线与圆相切的关系可得点坐标，则答案可求．
【解答】
解：，中点坐标，，
则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，
则圆的方程为：，
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，
即圆的方程中的值必须满足，
解得 或．
即对应的切点分别为和，
而过点，，的圆的半径大于过点，，的圆的半径，
，
故点为所求，
点的横坐标为．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查重心坐标公式，斜率公式，两条直线的位置关系，属于较难题．
设点的坐标，求出的重心，代入欧拉线方程，求出的垂直平分线方程和欧拉线方程联立，求出的外心，由外心性质得到关于，的方程，求出，，即可得到答案．
【解答】
解：设，
则由重心坐标公式可得，的重心为，
代入欧拉线方程，可得，
整理可得，，
的中点为，直线的斜率为，
则的中垂线方程为，即，
联立方程组，解得，，
所以的外心为，
则，
整理可得，
由可得，，或，，
当，时，点，重合，舍去，
所以，，
则点的坐标为．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题、与圆有关的最值问题，属于中档题．
以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，结合与圆有关的最值问题的求解，即可求出结果．
【解答】
解：以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则不妨设，设，
因为，
所以，
整理，得，即，
所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又动点在直线上，，
所以圆心到直线的距离为，
所以距离的最小值为．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，涉及推理的应用，属于中档题．
根据题意，分析要求圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径，
其圆心为，
则其标准方程为：，
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程的实际应用问题，其中解答中合理转化，求得点关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求解是解答的关键，是中档题．
利用直线方程及坐标，确定关于的对称点的坐标，则是“将军饮马”的最短路程，利用两点距离公式求距离即可．
【解答】
解：若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为，
，解得，即．
．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两点间的距离公式，也考查数形结合与数学转化思想方法，是中档题．
表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解．
【解答】
解：
表示动点到定点和的距离之和，
因为点在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
故的最小值为
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的应用以及命题真假的判定，属于较易题目．
根据甲乙丙丁四人所说逐一推理验证即可．
【解答】
解：易知，，三点不共线，所以丁同学的结论是正确的，而，，，故乙同学的结论是错误的．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，判断与；画出图形，由图可知，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点间的距离，再由勾股定理求得判断与．
本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．
【解答】
解：，，
过、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，
，，，
点到直线的距离小于，但不一定大于，故A正确，B错误；
如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，
此时，
，故CD正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题透过方程考查对其所对应的直线位置的认识，由数到形考查直线各种特殊位置，属于中档题．
存在性问题就是要通过特定的，去对应特定的位置，，，针对各选项的位置去构造即可，是不存在的，正面不好证明不成立，用反证法即可．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，当，时，直线的方程为，直线上无整点，正确；
对于，当，时，直线的方程为，直线上恰有一个整点，正确；
对于，假设直线上恰有两个整点为和，则有，
此时直线存在第三个整点：，错误；
对于，当，时，直线的方程为，直线上有无数个整点；
则正确；
故选：．

11.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，属于较难题．
由题意，直线与圆相切，从而由圆心到直线距离等于半径，得到，之间的关系；设直线族的包络线为圆心半径为的圆，由圆心到直线距离等于半径，列出方程，由系数对应相等，得到，，的值，然后求出的周长即可．
【解答】
解：由题意，圆为直线的包络线，从而与圆相切，从而有，即；
由题意，设直线族的包络线为圆心半径为的圆，从而有，
化简得：，即
由于等式的对任意均成立，从而两边对应的系数相等，从而有或，解得或者，由于，从而舍去，故，从而的长为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的应用，涉及点与圆的位置关系，圆有关的最值问题，属于基础题．
根据题意，分析的轨迹，由点与圆的位置关系可得点在圆内，则有，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，已知为原点，，则点的轨迹为圆，
则点的轨迹是以原点为圆心，半径为半径的圆，
又点，
则，即，
所以点在圆内，
则有，即的最小值为．
故答案为．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
设直线与坐标轴分别相交于点，，，可得直线的方程为：，由题意可得：，，解出即可得出．
本题考查了截距式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设直线与坐标轴分别相交于点，，，
可得直线的方程为：，
由题意可得：，，
解得：，或，
可得直线的方程为：或，
故答案为：，或．

14.【答案】解：圆，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
设圆的半径为，
则，
所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，
故动圆圆心的轨迹方程为，
假设存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，
设，，
当斜率存在时，设该圆的切线方程为，
联立椭圆方程，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，即，即，
所以，
结合，可得，解得，
所以圆的半径，
此时圆的方程为，
当斜率不存在时，切线方程为，所以切线与椭圆的两个交点为，满足，
故圆的方程为．
【解析】本题考查椭圆定义应用，考查直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属中档题．
依题意，，的轨迹是以，为焦点的椭圆，进而求得方程；
当斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立椭圆方程，根据韦达定理及，化简整理得到和的关系，利用圆心到切线的距离等于半径可得圆的方程当斜率不存在时，得到切线方程，求得两个交点的坐标，符合题意，即可得出结果．
15.【答案】解：因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为；
设，的方程为，
所以点到直线的距离为：
，
解得或不合题意，舍去；
所以．
设，，
所以为的中点，在上；
所以
解得
所以的长度为．

【解析】本题考查直线方程的求法，点到直线的距离，两点间的距离，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
求出直线的斜率，即可写出直线的方程；
利用点到直线的距离求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出、的坐标，即可计算的长度．
16.【答案】解：由题意可知点，，
；
由知，，，
设过，，三点的圆的方程为，
，
，
所以圆的方程为：，
圆心，半径为；
轮船航线所在的直线方程为：；
圆心到直线的距离，
故轮船会进入安全预警区域；
进入预警区的时长为小时，
即它在安全警示区内会行驶小时．
【解析】本题考查了函数模型的实际应用，直线与圆，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用题中的数据关系，即可直接解出点，的坐标，再由两点间距离公式即可解出；
解出过点，，三点的圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可做出判断．
17.【答案】证明：，所以，
由，可得
所以直线经过定点．
圆的方程：，即，所以其圆心为，半径为，
因为，所以定点在圆内，
所以直线和圆相交，
所以直线与圆一定有两个交点．
解：解法一：由知圆的圆心到定点的距离为，此距离即为圆心到直线距离的最大值，
圆的半径为，
则最短弦长为，
且弦长最短时对应的直线与直线垂直，设其斜率为，则
，解得，
所以弦长最短时对应的直线的方程为，即．
解法二：利用圆心到直线的距离构造关于的函数：
，
要求的最大值，则，当且仅当时，的最大值为，
则最短弦长为，
且弦长最短时对应的直线的方程为．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
由题意首先确定直线恒过定点，然后确定交点个数即可；
解法一：利用圆的几何关系求解；
解法二：由题意将圆心到直线的距离表示成关于的函数，利用基本不等式求得其最值，据此即可确定距离的最值，然后求解最短弦长和直线方程即可．
18.【答案】解：因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点为，
若选：可设直线的方程为，
将点代入方程，
可得，解得，
即有直线的方程为；
在直线上取两点和，
点关于点对称的点坐标为，
点关于点对称的点为，
所以直线的方程为．
若选：可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，
在直线上取两点和，
点关于点对称的点坐标为，
点关于点对称的点为，
所以直线的方程为．
【解析】本题考查两直线的交点求法，以及两直线垂直的条件和两直线关于点对称问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
联立两直线方程可得已知两直线的交点，若选，由两直线垂直的条件和代入法，可得直线的方程，再在直线上取两点，求得对称点，可得直线的方程；
若选，求得直线的斜率和方程，再在直线上取两点，求得对称点，可得直线的方程．
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