直线与圆的实际应用问题--重难点挑战（含解析）

直线与圆的实际应用问题
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发径直驶向位于海监船正北的处岛屿，船速为这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为小时( )
A. B. C. D.
赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是米，拱顶离水面米；当水面上涨米后，桥在水面的跨度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面米，水面宽米，当水面下降米后，水面宽是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖面上有桥是圆的直径，湖的一侧有一条直线型公路，，，已知，，单位：千米，现规划在公路上选两个点，，分别修建两条直线型公路，，要求公路，不穿过圆，则( )
A. 的最小值为千米
B. 的最小值为千米
C. 当取得最小值时，四边形的面积为平方千米
D. 当取得最小值时，四边形的面积为平方千米
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
如图所示，某公司计划建造一座滨海公园，直线与均为海岸沿线，是以为直角的直角三角形，线段为“滨海栈桥”，线段将建成“阳光沙滩沿线”，线段将建成“灯塔沿线”现要求“滨海栈桥”长度维持在不变的基础上，可适当调整“阳光沙滩沿线”与“灯塔沿线”的设计长度。预计建成后，每“阳光沙滩沿线”可让公司日均盈利万元，每“灯塔沿线”可让公司日均盈利万元，为使公司日均盈利最大，则应将“灯塔沿线”设计为 ．
年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图所示，是圆的圆心，圆过坐标原点，点，均在轴上，圆与圆的半径都为，圆与圆均与圆外切．已知直线过点，若直线被圆、圆、圆截得的弦长均等于，则 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为的正方形因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器的移动速度为，仪器的移动速度为若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡，则称仪器在仪器的“盲区”中．

如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器在点处，仪器在上距离点处，试判断仪器是否在仪器的“盲区”中，并说明理由；
如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器从点出发向点移动，同时仪器从点出发向点移动，在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为多少？
本小题分
如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处为河岸，．
求新桥的长；
长的范围是多少？
本小题分
某地一半圆形地块，如图所示，为圆心，为直径现欲将其建成公园，其中圆形区域图中是规划的三个广场，整个平面图成轴对称已知三个广场的边界均与半圆内切，与相切，大广场与小广场的边界外切记大广场半径为，小广场的半径为．
求的值；
为方便人们到达各广场，拟在大小广场之间修建两条小路，如图中的与不考虑小路的宽度，若恰是的公切线，且，求小路的长度．
本小题分
当前我国快递行业发展规模、服务质量和发展能力稳步提升，充分发挥了在“打通大动脉，畅通微循环”方面的先行作用．某快递公司在县县城建立了两个配送中心、，当快递目的地到的距离小于或等于到距离的时，由中心使用电动三轮车配送，其余快递则由中心使用小面包车配送．已知配送中心在配送中心的正东方．
试建立适当坐标系，研究配送中心所负责派送的目的地所满足的条件．
经过中点有一条笔直的公路从东南方向通往西北方向，紧邻该公路两侧的住户中是否有住户是由配送中心负责配送服务的？如果有，求该条公路上有多长距离，紧邻公路两侧的居民由配送中心服务；如果没有，说明理由．
本小题分
如图，某海面上有、、三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向且距岛千米处，岛在岛的正东方向且距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系圆经过、、三点．
求圆的方程
若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向且距岛千米的处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的实际应用，属于中档题．
根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间．
【解答】
解：根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为轴，正北方向为轴，
所以，，圆，
记从处开始被监测，到处监测结束，
所以，即，
因为到的距离为，
所以，
所以监测时间持续小时，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，建立圆拱桥的模型，设圆的半径为，当水面跨度是米，拱顶离水面米，分析可得，解可得的值，当水面上涨米后，可得跨度，计算可得答案．
本题考查圆的实际应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，如图：设圆的半径为，
已知在某个时间段这座桥的水面跨度是米，拱顶离水面米；设此时的水面为，为的中点，则，则，
则有，即，解可得，
当水面上涨米后，即水面到达时，为的中点，则，
此时，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题．
先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降米后可设的坐标为，根据点在圆上，可求得的值即可．
【解答】
解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为轴，建立直角坐标系，
设圆心为，水面所在弦的端点为，记为轴右侧的点，则由已知可得：，
设圆的半径为，则，即圆的方程为，
将的坐标代入圆的方程可得，
所以圆的方程是：，
则当水面下降米后可设圆上一点的坐标为，
代入圆的方程可得，
所以当水面下降米后，水面宽为米．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的实际应用问题，属于中档题．
过点作交于点，设与圆交于点，连接，则，
过点作交于点，过点作交于点，结合图形以及圆的性质逐项判断即可求解．
【解答】
解：如图，
过点作交于点，设与圆交于点，连接，则，
过点作交于点，过点作交于点．
由图可知，点及其左侧的点与点的连线不经过圆内部，
点及其右侧的点与点的连线不经过圆内部，
则的最小值为易知，
，，
所以，，，
即的最小值为千米，故A错误，B正确．
在四边形中，，，
所以平方千米，
故C正确，D错误．
故选BC．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆位置的实际应用，属于中档题．
【解答】
解：设，，由题意的，，
，，，
公司日均盈利为，
建立以为轴，为轴的直角坐标系，
则圆心为，半径为，
令，即直线，
由题意得圆心到直线的距离为，
因为，得．
联立方程
可解得，．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，两点间的距离，圆的方程，属于中档题．
由圆与圆外切，求得圆、圆的圆心设直线的方程为，根据直线截圆、圆、圆所得弦长均相等求得，即可求得结果．
【解答】
解：由题意圆与圆关于原点对称，设，则，解得，即，所以．
当直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线的方程为，则点，，到该直线的距离分别为，，，
则，即，
解得，则，
即．

7.【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以，
所以直线的方程是，即，
故圆心到直线的距离，
所以圆与直线相交，故仪器在仪器的“盲区”中；

建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，．
依题意知起始时刻仪器在仪器的“盲区”中．
假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，则，，
所以直线的斜率，
故直线的方程是，即，
从而点到直线的距离，
整理得，解得，结合时间，得．
答：仪器在仪器的“盲区”中的时长为．

【解析】本题考查直线与圆的方程的应用，将实际问题转化为数学问题是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
建立平面直角坐标系，求得点、的坐标，进而可得出直线的方程，求出原点到直线的距离，判断直线与花柱所在圆的位置关系，由此可得出结论；
建立平面直角坐标系，求出、、、的坐标，假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，用表示点、的坐标，并求出直线的方程，利用圆心到直线的距离可得出关于的不等式，求出的取值范围，由此可得出结果．
8.【答案】解：如图，以为轴建立直角坐标系，则，，
由题意，直线方程为．
又，故直线方程为，
由，解得，即，
所以；
设，即，
由直线的一般方程为，
与圆与相切，可得圆的半径为，
由题意要求
由于，因此，
解得，
故长的范围是．

【解析】本题考查直线与圆的方程的应用，直线方程，两直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，属于拔高题．
点坐标为，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知说明直线斜率为，这样直线方程可立即写出，又，故斜率也能得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；
实质就是圆半径最大，即线段上圆心点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于，列出不等式组，可求得的范围，进而求得长的范围．
9.【答案】解：连接，过作的垂线交于点，连接，
由题意可知，，，，，
，
即
，
解得：；

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系．
则， ，
直线是圆与圆的公切线 ，
，
设直线的方程为：
由直线与圆相切可知，
解得或舍去，
直线的方程为，
圆的方程为：，
联立方程，解得或，
又在第二象限 ，
由直线的方程为， 可知，
米，
故的长度为米
【解析】本题考查圆与圆的位置关系的实际应用，圆的切线方程，直线与圆的位置关系，是中档题．
连接，过作的垂线交于点，连接，由圆与圆的位置关系的判定方法即可求解；
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系由已知求得直线方程，圆的方程，再由直线与圆位置关系即可求解．
10.【答案】解：以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，．
设快递目的地为，的坐标为
，
即，
整理得：．
即当目的地在以为圆心，半径为的圆上或圆内部时，为配运中心所负责的区域，
由题知，公路所在直线的方程为由知，，圆心为，半径为．
直线到圆心距离，故直线与圆相交．
所求弦长．
故有紧临公路的住户由中心负责配送服务．
【解析】本题主要考查直线和圆的方程的实际应用，考查圆的标准方程，直线与圆位置关系，考查分析推理能力，属于中档题．
以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，可得即可判断出所满足条件．
由题知，公路所在直线的方程为，由知直线与圆相交，求得弦长，即为所求距离．
11.【答案】解：由题意得、，
设过、、三点的圆的方程为，
则
解得，，，
所以圆的方程为．
由题意得，且该船的航线所在的直线的斜率为，
故该船的航线为直线，
由知圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离 ，
所以该船有触礁的危险．

【解析】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
由圆过点、、，设圆的方程为，再将点、、的坐标代入运算即可得解
由题意可得该船航行方向为直线：，再结合点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，得解．
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