3.2.2双曲线的简单几何性质 教案

第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1. 掌握双曲线的简单几何性质.
2. 能够运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题.
二、教学重难点
1、教学重点
双曲线的简单几何性质.
2、教学难点
双曲线的渐近线.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：大家回忆双曲线的标准方程是什么？
学生：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程：.
（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程：.
教师：类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些性质？如何研究？
（二）探索新知
探究一：双曲线的范围
由方程可得，
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即.
所以，或；.
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
所以双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
探究二：双曲线的对称性和顶点
双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点画在y轴上（如图）.
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
探究三：双曲线的渐近线
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
在双曲线方程中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a. 这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
探究四：双曲线的离心率
双曲线的焦距和实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例： 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程化为标准方程.
由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是；离心率；渐近线方程为.
（三）课堂练习
1.设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点.以为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P，且以为直径的圆与直线相切，若，则双曲线的焦距等于( )
A. B.6 C. D.3
答案：A
解析：依题意知，设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以.设双曲线的焦距为2c，则，解得，由勾股定理可，于是，，故焦距.故选A.
2.已知双曲线的离心率为,则双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.2
答案：B
解析：不妨设双曲线的焦点,则它到渐近线的距离为.由,得,即,解得,所以,所以,故选B.
3.已知双曲线，直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为( )
A. B. C.2 D.4
答案：A
解析：在中，令，得，不妨设，
同理可得，由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上.
易知直线AC的方程为，令，得，即.
因为，所以是等边三角形，，所以，因为，所以，所以.故选A.
4.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是( )
A. B. C.或 D．
答案：A
解析：本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.双曲线的范围；
2.双曲线的对称性和顶点；
3.双曲线的渐近线.
4.双曲线的离心率.
四、板书设计
3.2.2 双曲线的简单几何性质
1.双曲线的范围；
2.双曲线的对称性和顶点；
3.双曲线的渐近线.
4.双曲线的离心率.
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