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3.1 椭圆(习题课)
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10
答案：D
解析：依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
2.(2022·全国甲卷·文) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别是C的左、右顶点，B为C的上顶点，若·＝－1，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案：B
解析：由题意知A1 (－a，0)，A2 (a，0)，B (0，b)，则·＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1，即a2－b2＝1，所以c2＝1，即c＝1.又离心率为，即＝，所以a＝3，即a2＝9，b2＝8，椭圆C的方程为＋＝1.
3.若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A.－
C.－2答案：A
解析：由题意知＋<1，解得－4.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：依题意，2c＝2b，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e2＝，又0＜e＜1，所以e＝.
5.若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A.7 B. C. D.
答案：C
解析：由题意得a＝3，b＝，c＝，∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，解得|AF1|＝.∴△AF1F2的面积S＝×2××＝.
6.(2022·武汉调研)设椭圆＋＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为( )
A.4＋ B.6 C.2＋2 D.8
答案：D
解析：设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.
7.(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为y＝x－b，即x－y－b＝0，F(c，0)，由点到直线距离公式，得c＝，即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，则2c－b＝0，b＝2c.又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，解得＝.
8.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.8
C.4 D.1
答案：C
解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.设P点的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1,0)，A(2,0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，所以当x0＝－2时，·取得最大值4.
9.(2022·太原模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
答案：C
解析：由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)．设P(x，y)(－2≤x≤2)．则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
10.(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.－1 B. C. D.＋1
答案：A
解析：设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1.
二、填空题
11.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案：
解析：由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝，∴＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.
12.设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
答案：＋＝1
解析：椭圆的右焦点为(2,0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.
13.已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
答案：
解析：若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，
可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e<1，所以e∈.
14.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
答案：
解析：取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤.又0＜e＜1，故≤e＜1.
15.(2021·浙江)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
答案：
解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|＝c，|AF1|＝c，所以|MF1|＝c，所以该直线的斜率k＝＝＝.因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝，又|F1F2|＝2c，所以k＝＝＝＝(0三、解答题
16.已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得
因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
17.已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，知a2＝3，b2＝1，则a＝，c＝＝，
所以椭圆C的离心率为＝＝.
(2)假设存在实数k满足条件，由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，即k＞1或k＜－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以AB为直径的圆过点E(－1,0)，只需AE⊥BE，
即·＝0，即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，
所以(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.②
将①代入②，解得k＝，满足题意．
综上，存在k＝，使得以AB为直径的圆过点E.
18.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程．
解：(1)由题意得，A(－a，0)，EF2：x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为b，即＝b，所以a＋c＝b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝＝，即a＝2c，①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，则|PF1||PF2|sin 60°＝，所以|PF1||PF2|＝4，
又所以a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
19.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1) 解：不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cos 60°＝＝，
即＝，所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以|PF1|·|PF2|＝.
又因为|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，
所以e≥.
又因为0所以所求椭圆的离心率的取值范围是.
(2) 证明：由(1)可知|PF1|·|PF2|＝b2，
所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝×b2×＝b2，
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
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高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册3.1 椭圆(习题课) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
3.1 椭圆(习题课)
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10
2.(2022·全国甲卷·文) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别是C的左、右顶点，B为C的上顶点，若·＝－1，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1
3.若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A.－ C.－24.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A.7 B. C. D.
6.(2022·武汉调研)设椭圆＋＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为( )
A.4＋ B.6 C.2＋2 D.8
7.(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.8
C.4 D.1
9.(2022·太原模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
10.(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.－1 B. C. D.＋1
二、填空题
11.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
12.设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
13.已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
14.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
15.(2021·浙江)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
三、解答题
16.已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
17.已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
18.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程．
19.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
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