华师大版数学九年级上册 24.3 锐角三角函数 教案
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级上册 24.3 锐角三角函数 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 203.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-23 15:11:49 | ||
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文档简介
24.3 锐角三角函数
锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数的定义
※教学目标※
【知识与技能】?
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
【过程与方法】?
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用.?
【情感态度】?
1.通过学习培养学生的合作意识.?
2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.?
【教学重点】?
锐角三角函数的概念.?
【教学难点】?
锐角三角函数的概念的理解.
※教学过程※
一、情境导入?
如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度.
这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题.
二、探索新知?
1.某个角的对边、邻边的概念.
在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）.??
2.做一做.?
（1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算.
（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下.?
（3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？?
结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.?
经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关.?
说明：观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2?∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的.
3.锐角三角形函数的定义?
?∠A的正弦：sinA=
?∠A的余弦：cosA=?
?∠A的正切：tanA=
?∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.??
4.知识拓展?
（1）正弦与余弦三角函数值的取值范围.?
∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0(2)同角三角函数关系?
sin2α+cos2α=1;tanα=.?
(3)互余两角的三角函数值?
若α、β都是锐角，且α+β=90°,?那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ.
三、巩固练习?
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.?
解：AB==17,sinA=,cosA=,?
tanA=.??
【练习】?
1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：?
∠P的对边是 ，∠P的邻边是 ；?
∠M的对边是 ，∠M的邻边是 .??
第1题图 第2题图
2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值.?
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：
（1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13.??
答案：1.?MN PN PN MN?
2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=.
3.(1)sinB=,cosB=,tanB=.
(2)sinB=,cosB=,tanB=.
四、应用拓展?
【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值.?
解：∵?sinA=,∴AB=,?
∴AC=.
【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值.?
解：方法一：用定义法求解
∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.?∴cosα=,tanα=.?
方法二：用公式求解?
∵α为锐角，∴cosα==,tanα=.
五、归纳小结
1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；?
2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关；?
3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应.
※课后作业※
1.教材第111页习题24.3第1、2题.?
2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，?tanB=,求的值.
第2课时 特殊角的三角函数值
※教学目标※
【知识与技能】?
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.?
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.?
【过程与方法】?
培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.?
【情感态度】?
经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性，说理过程的严谨性，养成科学的、严谨的学习态度.?
【教学重点】?
特殊角的三角函数值.?
【教学难点】?
与特殊角的三角函数值有关的计算.
※教学过程※
一、复习引入?
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,求∠A、∠B的三个三角函数值.??
回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质.
二、探索新知?
在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值.??
解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即?BC=1,则AB=2，由勾股定理得：AC=.由三角函数定义,得sin30°=.cos30°=.tan30°=.??
同理可得sin60°=,cos60°=,tan60°=.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三角函数值.若设AC=BC=1.则AB=.易得?sin45°=,cos45°=,tan45°=1.?
【例1】求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°.?
解：原式=.?
【例2】在Rt△ABC中，若sinA=,则cos的值是多少？?
解：由sinA=知A=60°.?
∴cos=cos30°=.
三、巩固练习?
1.在△ABC中，若cosA=,tanB=，则此三角形一定是（ ）?
A.锐角三角形 B.直角三角形?
C.钝角三角形 D.等腰三角形?
2.用特殊角的三角函数填空：?
= = ;?
= = ;?
1= ;= .?
3.化简= .?
4.点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是 .?
5.求下列各式的值：?
（1）sin260°+cos260°;?
(2)2cos60°+2sin30°+4tan45°;?
(3).?
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=.求∠A的大小.??
答案：1.A 2.sin60° cos30° sin45° cos45°
tan45° tan60° 3. 4.
5.(1)1 (2)6 (3) 6.∠A=45°
四、应用拓展?
1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，则∠D=15°.设AC=k,则AB=2k,BC=k,所以CD=BC+BD=BC+AB=(2+)k,?所以tan15°===2-.?
仿上面的解题方法，易求tan22.5°=-1.
※课后作业※
1.教材第111页习题24.3的第3题.?
2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式=0,求∠C的度数.? ?
3.若α为锐角，且tan2α-(1+)tanα+1=0.求α的度数.
2.用计算器求锐角三角函数值
※教学目标※
【知识与技能】?
1.会使用计算器求锐角三角函数的值.?
2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.?
【过程与方法】?
在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用.?
【情感态度】?
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序.?
【教学重点】?
利用计算器求锐角三角函数的值.?
【教学难点】?
计算器的按键顺序.
※教学过程※
一、复习引入?
填表：
?
由上表我们可以直接写出30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角.对一些非特殊的角，怎样求它的三个三角函数值呢？
二、探索新知?
1.求锐角三角函数值?
【例1】求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）.?
解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：?
再按下列顺序依次按键：?
?
显示结果为0.897859012.?
∴sin63°52′41″≈0.8979.?
【例2】求tan19°15′的值（精确到0.0001）.?
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,
按下列顺序依次按键：?
?
显示结果为0.3492156334.?
∴tan19°15′≈0.3492.?
2.由锐角三角函数值求锐角.?
【例3】若tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）?
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,
按下列顺序依次按键：?
?
显示结果为36.53844577.?
再按键,
显示结果为36°32′18.4″.?
所以x≈36°32′.
三、巩固练习?
1.利用计算器求下列三角函数值：（精确到?0.0001）??
（1）sin24°;(2)cos51°42′20″;(3)tan70°21′.?
2.已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α：（精确到1′）??
（1）sinα=0.2476;(2)cosα=0.4174;
(3)tanα=0.1890.?
答案：1.（1）0.4067 (2)0.6197 (3)2.8006 2.(1)14°20′ (2)65°20′ (3)10°42′
※课后作业※
1.教材第111页习题24.3的第4、5题.?
2.比较大小.cos25° cos32°,tan29° tan39°.?
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=29，AC=25，求∠A的度数.?
锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数的定义
※教学目标※
【知识与技能】?
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
【过程与方法】?
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用.?
【情感态度】?
1.通过学习培养学生的合作意识.?
2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.?
【教学重点】?
锐角三角函数的概念.?
【教学难点】?
锐角三角函数的概念的理解.
※教学过程※
一、情境导入?
如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度.
这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题.
二、探索新知?
1.某个角的对边、邻边的概念.
在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）.??
2.做一做.?
（1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算.
（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下.?
（3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？?
结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.?
经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关.?
说明：观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2?∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的.
3.锐角三角形函数的定义?
?∠A的正弦：sinA=
?∠A的余弦：cosA=?
?∠A的正切：tanA=
?∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.??
4.知识拓展?
（1）正弦与余弦三角函数值的取值范围.?
∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0
sin2α+cos2α=1;tanα=.?
(3)互余两角的三角函数值?
若α、β都是锐角，且α+β=90°,?那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ.
三、巩固练习?
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.?
解：AB==17,sinA=,cosA=,?
tanA=.??
【练习】?
1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：?
∠P的对边是 ，∠P的邻边是 ；?
∠M的对边是 ，∠M的邻边是 .??
第1题图 第2题图
2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值.?
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：
（1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13.??
答案：1.?MN PN PN MN?
2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=.
3.(1)sinB=,cosB=,tanB=.
(2)sinB=,cosB=,tanB=.
四、应用拓展?
【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值.?
解：∵?sinA=,∴AB=,?
∴AC=.
【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值.?
解：方法一：用定义法求解
∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.?∴cosα=,tanα=.?
方法二：用公式求解?
∵α为锐角，∴cosα==,tanα=.
五、归纳小结
1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；?
2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关；?
3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应.
※课后作业※
1.教材第111页习题24.3第1、2题.?
2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，?tanB=,求的值.
第2课时 特殊角的三角函数值
※教学目标※
【知识与技能】?
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.?
2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.?
【过程与方法】?
培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.?
【情感态度】?
经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性，说理过程的严谨性，养成科学的、严谨的学习态度.?
【教学重点】?
特殊角的三角函数值.?
【教学难点】?
与特殊角的三角函数值有关的计算.
※教学过程※
一、复习引入?
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,求∠A、∠B的三个三角函数值.??
回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质.
二、探索新知?
在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值.??
解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即?BC=1,则AB=2，由勾股定理得：AC=.由三角函数定义,得sin30°=.cos30°=.tan30°=.??
同理可得sin60°=,cos60°=,tan60°=.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三角函数值.若设AC=BC=1.则AB=.易得?sin45°=,cos45°=,tan45°=1.?
【例1】求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°.?
解：原式=.?
【例2】在Rt△ABC中，若sinA=,则cos的值是多少？?
解：由sinA=知A=60°.?
∴cos=cos30°=.
三、巩固练习?
1.在△ABC中，若cosA=,tanB=，则此三角形一定是（ ）?
A.锐角三角形 B.直角三角形?
C.钝角三角形 D.等腰三角形?
2.用特殊角的三角函数填空：?
= = ;?
= = ;?
1= ;= .?
3.化简= .?
4.点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是 .?
5.求下列各式的值：?
（1）sin260°+cos260°;?
(2)2cos60°+2sin30°+4tan45°;?
(3).?
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=.求∠A的大小.??
答案：1.A 2.sin60° cos30° sin45° cos45°
tan45° tan60° 3. 4.
5.(1)1 (2)6 (3) 6.∠A=45°
四、应用拓展?
1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，则∠D=15°.设AC=k,则AB=2k,BC=k,所以CD=BC+BD=BC+AB=(2+)k,?所以tan15°===2-.?
仿上面的解题方法，易求tan22.5°=-1.
※课后作业※
1.教材第111页习题24.3的第3题.?
2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式=0,求∠C的度数.? ?
3.若α为锐角，且tan2α-(1+)tanα+1=0.求α的度数.
2.用计算器求锐角三角函数值
※教学目标※
【知识与技能】?
1.会使用计算器求锐角三角函数的值.?
2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.?
【过程与方法】?
在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用.?
【情感态度】?
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序.?
【教学重点】?
利用计算器求锐角三角函数的值.?
【教学难点】?
计算器的按键顺序.
※教学过程※
一、复习引入?
填表：
?
由上表我们可以直接写出30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角.对一些非特殊的角，怎样求它的三个三角函数值呢？
二、探索新知?
1.求锐角三角函数值?
【例1】求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）.?
解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：?
再按下列顺序依次按键：?
?
显示结果为0.897859012.?
∴sin63°52′41″≈0.8979.?
【例2】求tan19°15′的值（精确到0.0001）.?
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,
按下列顺序依次按键：?
?
显示结果为0.3492156334.?
∴tan19°15′≈0.3492.?
2.由锐角三角函数值求锐角.?
【例3】若tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）?
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,
按下列顺序依次按键：?
?
显示结果为36.53844577.?
再按键,
显示结果为36°32′18.4″.?
所以x≈36°32′.
三、巩固练习?
1.利用计算器求下列三角函数值：（精确到?0.0001）??
（1）sin24°;(2)cos51°42′20″;(3)tan70°21′.?
2.已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α：（精确到1′）??
（1）sinα=0.2476;(2)cosα=0.4174;
(3)tanα=0.1890.?
答案：1.（1）0.4067 (2)0.6197 (3)2.8006 2.(1)14°20′ (2)65°20′ (3)10°42′
※课后作业※
1.教材第111页习题24.3的第4、5题.?
2.比较大小.cos25° cos32°,tan29° tan39°.?
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=29，AC=25，求∠A的度数.?