华师大版数学九年级上册 23.1 成比例线段 教案

23.1 成比例线段
1.成比例线段
※教学目标※
【知识与技能】
理解并掌握线段的比，成比例线段等基本概念，掌握比例的基本性质.?
【过程与方法】?
1.经历比例性质的推导过程，能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质.?
2.能运用比例的性质进行简单的变形；会判断已知线段是否成比例.?
【情感态度】?
通过问题的解决进一步激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质.?
【教学重点】?
线段的比、成比例线段的概念，比例的基本性质.?
【教学难点】?
能运用比例的基本性质推导出比例的其余性质.
※教学过程※
一、情境导入?
观察下列两张照片，你有什么发现？请与同学交流.??
【点拨】 像这种形状相同，大小不一定相同的图形叫相似形.?
【小结】 相似形的定义：具有相同形状的图形叫相似形.?
为了研究相似图形，先研究与其密切相关的成比例线段.
二、探索新知?
1.线段的比?
如图，下列格点图中的格点小正方形的边长都是1，试计算:
?
(1)概念：一般地，若线段a、b的长度分别是m、n（单位相同），那么就说这两条线段的比是a:b=m:n,或写成,和数的比一样，a叫比的前项，b叫比的后项.??
（2）几点注意：
①两条线段的比是一个无单位的数；
②线段的比值是一个正数；
③两条线段的长度单位不同时，求两条线段的比时必须要先统一长度单位；
④只要两条线段的长度单位一样，两条线段的比与所采用的单位无关.?
2.成比例线段及有关概念?
由计算结果可知：??
对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.特别地，如果作为比例内项的是两条相同的线段，即,那么线段b叫做线段a和线段c的比例中项.??
【例1】 判断下列线段?a、b、c、d是否是成比例线段：?
（1）a=4,b=8,c=5,d=10;?
（2）
分析：判断线段a、b、c、d是否是成比例线段，关键是看线段a、b、c、d中两两的比是否相等.需要特别注意的是不一定按顺序计算
解：（1）
∴线段a、b、c、d是成比例线段.?
（2）
∴这四条线段是成比例线段.??
3.比例的性质?
（1）比例的基本性质：?
?如果,那么ad=bc;如果ad=bc,那么?
?
(2)比例的合分比性质：?
?如果?
【例2】 已知：,求证：?
证明：（1）等式两边同加上1，得
(2)
?
等式两边同乘-1，得
等式两边同加上1，得
(3)比例的等比性质：?
如果
那么
证明如下：
三、巩固练习?
1.已知线段a、b、c满足关系式,且b=4,那么ac= .
2.判断下列线段a、b、c、d是否成比例线段：??
(1)a=2cm,b=4cm,c=3m,d=6m;?
(2)a=0.8,b=3,c=0.64,d=2.4.?
答案：1.16 2.（1）?a、b、c、d是成比例线段 （2）a、b、c、d是成比例线段?
四、应用拓展?
【例3】 若,试确定下列各式的值：?
?
分析：由于式子当中出现了分子与分母的和差形式，故可尝试利用比例的合分比性质来解决问题.?
解：
【例4】 若,求k的值.?
分析：由于本题涉及了一组等比，故可尝试利用比例的等比性质来解题.?
解：当a+b+c=0时，a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,
易得k=-1.
当a+b+c≠0时，?

五、归纳小结?
1.求线段的比时，必须先统一长度单位.?
2.由ad=bc得到的比例式并不唯一，可以是等.??
3.利用比例的性质解题时，注意分母不能为零.
※课后作业※?
课本第51页练习第3、4题?
习题23.1第4、5、6题.
2.平行线分线段成比例
※教学目标※
【知识与技能】?
在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理.?
【过程与方法】?
经历平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究过程，能探究并归纳出平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理.能运用平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理解决有关问题.?
【情感态度】?
通过定理的学习进一步掌握认识事物的一般规律是从特殊到一般，并进一步学会用类比的数学思想方法来研究问题和解决问题.?
【教学重点】?
理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运用定理解决有关问题.?
【教学难点】?
平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形.
※教学过程※
一、复习引入?
翻开作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的.?
在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，得到两条线段AB、BC，那么可以发现所得的这两条线段相等，即AB=BC.同理可得DE=EF.由此我们可以得到 ?
二、探索新知?
如果选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交.?
测量并计算：（1）m与n平行时，四条线段AD、DB、FE、EC的长度有什么关系；?
（2）m与n不平行时，四条线段AD、DB、FE、CE的长度有什么关系.??
1.平行线分线段成比例定理：?
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）.?
用几何语言表示为：?
∵AD∥BE∥CF,
∴
2.三角形一边的平行线的性质定理：?
探索一：当上述图中的A点与F点重合时，如图，此时AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？??
探索二：如图，当直线m、n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？??
三角形一边的平行线的性质定理：?
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.?
用几何语言表示为：?
∵DE∥BC,
∴
∵DE∥BC,
∴
【说明】 这两幅图可以简称为“A”型和“X”型.?
【例1】 如图，,AB=4,DE=3,EF=6.求BC的长.?
分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题.?
解：∵,∴(平行线分线段成比例).?
∵AB=4,DE=3,EF=6,?
∴.∴BC=8.??
【例2】 如图，E为ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F.求证：
分析：由于比例式中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出的值.?
证明：∵AF∥BC，?
∴（平行线分线段成比例）.?
∵AB∥CE,?
∴(平行线分线段成比例).?
∴. ?
三、巩固练习?
1.如图，AD∥BE∥CF，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.?
（1）已知AB=BC=4，DE=5，求EF的长；?
（2）已知AB=5，BC=6，DE=7，求EF的长.
第1题图 第2题图
2.如图，AD∥BE∥CF，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，AB=4，BC=3，DF=9.求EF的长.?
答案：1.（1）EF=5 （2）EF= 2.EF=?
四、应用拓展?
1.教材第53页“做一做”.?
2.已知：如图，,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长.?
答案：2.DE=4.5，EF=7.5.?
五、归纳小结?
平行线分线段成比例定理的运用，关键是注意对应，另外，在应用此定理证明时，可能要借用中间比或是结合比例的性质进行综合应用.
※课后作业※?
教材第55页习题23.1的第7题.