高中数学必修第一册人教A版（2019）1.5_全称量词与存在量词_学案（含答案）

第一章　集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；
2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；
3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定；
4. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．
1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；
2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。
一、全称量词命题、存在量词命题的基本概念
1．全称量词、全称量词命题的概念
（1）全称量词及表示:
定义：短语“ ”、 、 、 、 在逻辑中通常叫全称量词。
表示：用符号 表示。
（2）全称量词命题及表示:
定义：含有 的命题，叫全称量词命题。
表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 。
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
2.存在量词、存在量词命题的定义
（1）存在量词及表示:
定义：短语 、 、 、 、 在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号 表示。
（2）存在量词命题及表示：
定义：含有 的命题,叫做存在量词命题.
表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 .
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
命题的否定
全称量词命题的否定是 命题，存在量词命题的否定是 命题。
探究一、全称量词命题的含义
1.思考:下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)x>3
(2)2x+1是整数
(3)对所有的xR,x>3
(4)对任意一个xZ,2x+1是整数
2、归纳新知
（1）全称量词及表示:
定义：短语“ ”、 、 、 、 在逻辑中通常叫全称量词。
表示：用符号 表示。
（2）全称量词命题及表示:
定义：含有 的命题，叫全称量词命题。
表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 。
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
练习：用量词“ ”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸多边形的外角和等于2；
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。
例1.判断下列全称量词命题的真假
(1) 所有的素数都是奇数;
(2) , |x|+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
4、思考：如何判断全称量词命题的真假？
探究二 存在量词命题的含义
1.思考：下列语句是命题吗 (1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
2.存在量词、存在量词命题的定义
（1）存在量词及表示:
定义：短语 、 、 、 、 在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号 表示。
（2）存在量词命题及表示：
定义：含有 的命题,叫做存在量词命题.
表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 .
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
3.练习：下列命题是不是存在量词命题？
（1）有的平行四边形是菱形;
（2）有一个素数不是奇数
4.练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“ x∈R,q(x)”
例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。
(1) 有一个实数a，a不能取倒数；
(2) 所有不等式的解集A,都是A R；
(3) 有的四边形不是平行四边形。
例3 判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
5.思考：如何判断存在量词命题的真假
探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。
牛刀小试：说出下列命题的否定。
（1） 56是7的倍数；
（2） 空集是集合A={1,2,3}的真子集；
2.思考：
（2）每一个素数都是奇数；
。
（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
3.思考：
（2）某些平行四边形是菱形；
。
（3）有一个偶数是素数.
例6 写出下列命题的否定，并判断真假；
（1）任意两个等边三角形都相似；
1．下列说法中，正确的个数是(　　)
①存在一个实数x0，使－2x＋x0－4＝0；
②所有的素数都是奇数；
③至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
2．设命题p： n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为(　　)
A． n∈N，n2＞2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2＝2n
3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
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参考答案：
探究一 1.（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是
关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.
3.练习 （1）x能写成小数形式;
x {x|x是凸n边形},x的外角和等于;
(3)x·(-1)= -x.
例1 （1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;
(2)∵,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;
（3）∵是无理数,但是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;
4.若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。
探究二 1. (1)不是 （2）不是 （3）是 （4）是
关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
3.都是存在量词命题。
4.存在实数x,使x2=x成立；
至少有一个x∈R,使x2=x成立；
对有些实数x,使x2=x成立；
有一个x∈R,使x2=x成立；
对某个x∈R,使x2=x成立。
例2 （1）存在量词命题 （2）全称量词命题 （3）存在量词命题
例3 (1)由于 ， ,
因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。
5.要判断存在量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
探究三 牛刀小试 （1）否定： 56不是7的倍数；（2）否定： 空集不是集合A={1,2,3}的真子集。
2.
(2)存在一个素数表示奇数；
。
从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题
例4.（1）否定： 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；
（3）否定：的个位数字等于3.
3.否定:
（1）所有实数的绝对值都不是正数;
（2）每一个平行四边形都不是菱形;
（3）
从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
例 5
（2） 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形
（3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数
例6 （1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都
相似。因此这是一个假命题。
（2）该命题的否定：
.
所以这是一个假命题。
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1.【解析】　①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B.
【答案】　B
2.【解析】　因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M， p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”．故选C.
【答案】　C
3.(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称量词命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
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