人教版数学八年级册 13.4最短路径问题
一．选择题（共8小题）
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，等边△ABC，AB＝3，CD＝AC，P为BC边上一点，则△APD周长的最小值为（ ）
A．2+ B． C．3 D．2
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
7．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二．填空题（共6小题）
9．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，点P是直线EF上一动点，连接PA，PB，当|PA﹣PB|取最大值时，AP的长为 ．
11．如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 ．
12．函数的最小值是 ．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是48，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
14．如图，∠BOC＝45°，点A在∠BOC的内部，OA＝1，点P、Q分别是边OC、OB上的动点，则△APQ周长的最小值为 ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．
（1）补全图形；
（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．
16．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）．
请回答下列问题：
（1）△ABC关于x轴的对称图形为△A1B1C1，则A1点坐标为 ．
（2）△ABC的面积＝ ，点C到AB的距离为 ．
（3）P为x轴上一点，PA+PB最小值＝ ．
17．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？
18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 ；
（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
20．如图，直线l∥m，在直线l，m上分别取点M，N，使MN⊥线l，连接AM，MN，BN，当AM+MN+BN最小时，求点M，N的位置．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
2．【解答】解：连接AM，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长，
∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵BC＝6，△ABC的面积是24，
∴AD＝8，
∵BC＝6，D是BC的中点，
∴CD＝3，
∴AD+CD＝8+3＝11，
∴△CDM周长的最小值为11，
故选：D．
3．【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，作A′H⊥BC于H，连接PA′，连接A′D交BC于P′．
∵CD∥A′B，
∴＝＝＝，
∴BP′＝，
在Rt△A′BH中，BH＝，A′H＝，
∴HP′＝，P′A′＝＝，
∴DP′＝，
∴DA′＝，
∵△APD周长＝PA+PD+AD＝PA+PD+2，
∵PA+PD＝PA′+PD≥DA′，
∴PA+PD的最小值为，
∴△PAD的周长的最小值为2+，
故选：A．
4．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，
∴AD＝12，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点即为P的，此时PA＝PB，PB+PD＝PA+PD＝AD，AD的长度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
5．【解答】解：∵，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
6．【解答】解：连接CE交AD于点P，
∵AB＝AC，AD是BC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BP＝CP，
∴BP+EP＝CP+EP≥CE，
∴BP+EP的最小值为CE的长，
∵CE＝4cm，
∴BP+EP的最小值为4cm，
故选：B．
7．【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故选：C．
8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC＝BC＝3，
连接AE，交BD于P，
∴PA＝PC，
∴PE+PC＝PE+PA＝AE，
线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝3，
∴PE+PC的最小值是3．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝125°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．
∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°
10．【解答】解：如图，连接PC，
∵EF垂直平分线段AC，
∴CF＝AC＝5，AP＝CP，
∴|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|，
∵PC﹣PB≤BC，当点P在直线BC上时，|PC﹣PB|最大，此时，|PA﹣PB|最大，
延长CB交EF于P'，此时，|P'C﹣P'B|最大，
过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝10，BC＝8，
∴CH＝BC＝4，
在Rt△AHC中，根据勾股定理得，AH＝＝2，
在Rt△AHP'中，P'H＝P'C﹣CH＝P'A﹣4，
根据勾股定理得，P'A2＝AH2+P'H2，
∴P'A2＝84+（P'A﹣4）2，
∴P'A＝，
即PA＝，
故答案为：．
11．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，
∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BP＝CP，
∴EP+CP＝BP+CP≥BE，
∴EP+CP的最小值为BE的长，
∵E为AC边的中点，
∴BE⊥AC，
∵AD＝6，
∴BE＝6，
故答案为：6．
12．【解答】解：如图，作线段AB＝4，AC⊥AB，DB⊥AB，且AC＝1，BD＝2，
对于AB上的任意一点O，令OA＝x，则
OC＝，OD＝，
设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O．此时，OC+OD＝OE+OD＝DE，
作EF∥AB与DB的延长线交于F，
在Rt△DEF中，易知EF＝AB＝4，DF＝3，
所以DE＝5，
因此，函数的最小值是5．
故答案为：5．
13．【解答】解：连接AD，AD与EF的交点即为M，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴C点与A点关于直线EF对称，
∴AM＝CM，
∴CM+MD＝AD，此时△CDM周长最小，
∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC长为8，面积是48，
∴AD＝12，
∴△CDM周长＝AD+CD＝12+4＝16，
故答案为16．
14．【解答】解：作A点关于OC的对称点A'，作A点关于OB的对称点A''，连结A'A''交OC、OB于点P、Q，连结A'O、OA''，
由对称可知，AP＝A'P，AQ＝A''Q，
∴△APQ的周长＝AP+AQ+PQ＝A'P+PQ+QA''＝A'A''，
∴△APQ周长的最小值为A'A''的长，
∵∠BOC＝45°，
∴∠A'OA''＝90°，
∵由对称性可得AO＝OA'＝OA''，
∵OA＝1，
∴A'O＝A''O＝1，
∴△OA'A''是等腰直角三角形，
∴A'A''＝，
∴△APQ周长的最小值为，
故答案为．
三．解答题（共6小题）
15．【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小．
∵DE＝AD，AD⊥BC，
∴BC为AE的垂直平分线
∴CA＝CE＝2，AP＝EP，
∴AP+FP＝EP+PF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC，AF＝CF＝1，
在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CF＝1，EC＝2，
∴EF＝．
∴AP+FP的最小值为．
16．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点A1的坐标为（1，﹣4）；
故答案为：（1，﹣4）．
（2）S△ABC＝3×3﹣3×2﹣﹣＝；
设C到AB的距离为h，
∵AB＝＝，
∴S△ABC＝＝，即×h＝，
∴h＝，
∴点C到AB的距离为；
故答案为：，；
（3）A1B交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为A1B，
∵A1（1，﹣4），B（4，2），
∴A1B＝＝3，
∴PA+PB最小值为3，
故答案为：3．
17．【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°．
18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C
∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，
∴∠A＝50°，
MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴∠A＝∠ABM＝50°，
∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，
∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，
∴∠NMA＝∠AMB＝40°．
故答案为40度．
（2）①∵AB＝AC＝10，
△MBC的周长是18cm，
即BM+MC+BC＝18
∵AM＝BM，
∴AM+MC+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴BC＝8．
答：BC的长度为8cm．
②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，
答：△PBC的周长的最小值为18cm．
19．【解答】解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．
（3）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．
20．【解答】解：过A作AA1⊥l，且AA1＝MN，连A1B，交m于N，
过N作MN⊥m交l1于M，连AM，则AM+MN+BN最小人教新版八年级上学期 13.4 最短路径问题
一．选择题（共7小题）
1．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（ ）
A．B． C．D．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为（ ）
A．30 B．39 C．60 D．78
3．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
4．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B． C．12 D．15
6．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．填空题（共6小题）
8．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ．
9．AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
10．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为 ．
11．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝16，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且FD⊥AB．若点P为线段DF上一动点，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ．
三．解答题（共6小题）
14．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．
15．如图，B，C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）
16．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，E为AB的中点，点M是AD上一个动点，请你补全图形，并求出当MB+ME的值最小时∠EMB的度数．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若∠ABC＝68°，求∠AED的度数；
（2）若点P为直线DE上一点，AB＝8，BC＝6，求△PBC周长的最小值．
18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 度．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
19．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．
故选：D．
2．【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝13，
∵BC＝6，
∴AD＝10，
∴△ABC的面积为：BC AD＝×6×10＝30，
故选：A．
3．【解答】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，
故选：D．
4．【解答】解：连接AM，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，
∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
5．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝15．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC＝9．
∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴EQ∥BC，
∴＝，即＝
∴EQ＝．
故选：B．
6．【解答】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝BC' sin30°＝8×＝4，
∴CE+EF的最小值为4，
故选：B．
7．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴点D与点B关于AD对称，
连接CE交AD于P，则此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，
∵点E是AB的中点，
∴CE垂直平分AB，
∴CE＝AD＝5，
∴BP+EP的最小值为5，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
8．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴×4 CE＝10，
∴CE＝．
即CM+MN的最小值为5．
故答案为：5
9．【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM最小值为8，
故答案为：8．
10．【解答】解：如图，连接PE，
∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴AC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠DCE，
在△ACP和△ECP中，
∴△ACP≌△ECP（SAS），
∴AP＝EP，
∴AP+BP＝AP+EP，
当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，
所以AP+BP的最小值为：2×4＝8．
故答案为：8．
11．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC＝10，S△ABC＝25，
∴×10 BE＝25，
解得BE＝5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB＝AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N＝BE＝5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
12．【解答】解：如图所示，
连接AE交DF于点P，
∵AB＝AC，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵S△ABC＝16，BC＝4，
∴AE＝8，BE＝2，
∵D是AB的中点，FD⊥AB，
∴DF是AB的垂直平分线，
∴PB＝PA，
∴△BPE周长的最小值是AE+BE＝8+2＝10．
故答案为10．
13．【解答】解：作M点关于BC的对称点M'，作M点关于AC的对称点M''，连接M'M''，分别交AC于点N，交BC于点P，
由对称可得，MN＝M''N，MP＝M'P，
∴PM+MN+PN＝PM'+NP+M''N≥M'M''，
∴M'M''最小时，PM+MN+PN的值最小，
当M'M''⊥BC时，M'M''的值最小，
∴M点与A点重合时，M'M''⊥BC，
∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∴BC边上的高h＝，
∴M'M''＝2h＝，
∴PM+PN+MN的最小值是，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
14．【解答】解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，
则BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，
∴PA+PB的值最小等于线段AB'的长，
15．【解答】解：（1）∵B，C两点关于y轴对称，C（﹣a，﹣a﹣b），
∴B（a，﹣a﹣b），
故答案为：（a，﹣a﹣b）；
（2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P＝AB，此时AP+PB的值最小．
16．【解答】解：如图所示，
∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，C关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴∠MBC＝∠MCB，
连接CE交AD于M，
则此时，MB+ME的值最小，
∵E为AB的中点，
∴CE是边AB的中线，
∴CE⊥AB，∠BCE＝ACB＝30°，
∴∠MBC＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM＝30°，
∴∠BME＝60°，
故∠EMB的度数为60°．
17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝68°，
∴∠C＝∠ABC＝68°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣68°﹣68°＝44°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣44°＝46°；
（2）当点P与点E重合时，△PBC的周长最小，
理由：∵PB+PC＝PA+PC≥AC，
∴当点P与点E重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝AB+BC＝8+6＝14．
18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，
∵AB＝8，△MBC的周长是14，
∴BC＝14﹣8＝6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．
19．【解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，
∴∠MNB＝2α，
∵MD∥OB，
∴∠AMD＝α，
∵NE平分∠MNC，
∴∠MNE＝∠ENC，
设∠MNE＝β，
∴∠CNB＝2α﹣2β，
∵MD∥OB，
∴∠MCN＝2α﹣2β，
∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，
∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，
∴∠MEN＝α﹣β，
∴2∠MEN＝∠MCN；
（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，
∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，
由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，
∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），
∵∠AOB＝20°，
∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，
∴∠OPM+∠OQN＝200°
