高一数学第二章一元二次函数、方程和不等式 作业（含解析）

高一数学第二章一元二次函数、方程和不等式作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A． B．且
C． D．不等式的解集是
8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在上取一点，使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．若正数a，b满足，则的最小值是__．
10．已知实数满足，则的取值范围为_________.
11．函数的最小值是___________.
12．若，则的最小值为____________．
四、解答题
13．已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
14．某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
15．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
16．求不等式的解集.
试卷第2页，共3页
试卷第3页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.
【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标，
令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标，易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以.
故选:C.
2．B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
3．C
【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【详解】由得 ，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是
故选：C．
4．B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
5．A
【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：不等式的解集是，
即对于，恒成立，
即，
当时，，
当时，，
因为，
所以，
综上所述.
故选：A.
6．A
【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
7．AB
【解析】结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得且，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，不等式的解集是，
可得是方程的两个根，所以，且，所以A正确；
又由，所以，所以B正确；
当时，此时，所以C不正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以，即，此时不等式的解集为，
所以D不正确.
故选：AB.
8．BCD
【解析】由，得到，然后利用射影定理得到判断.
【详解】因为，
所以,
因为，
所以由射影定理得，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
故选：BCD
9．
【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
10．
【解析】变换，利用均值不等式得到，计算得到答案.
【详解】，
故，当时等号成立.
故且，
故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了均值不等式求最值，变换是解题的关键.
11．4
【分析】根据基本不等式可求出结果.
【详解】令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4.
故答案为：4
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围
（1）
因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）
若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
14．（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
【分析】（1）由题知，每辆车年总收入为万元，总支出为，进而得利润的表达式；
（2）结合（1）得年平均运营利润为，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：（1）依题意得，每辆车年总收入为万元，
总支出为，
所以辆客车运营的总利润.
（2）年平均运营利润为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
15．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
16．,或.
【解析】因为方程的根是函数的零点,先求出的根,再根据函数图象得到的解集.
【详解】对于方程
则,所以方程有两个实数根.
则
解得,
画出二次函数的图象如下图所示:
结合图象可知不等式的解集为,或
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.
答案第6页，共7页
答案第7页，共7页