高一数学人教A版（2019）必修第二册教案： 6.4.1平面几何中的向量方法 教学设计

第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
教学设计
教学目标
掌握用向量方法解决平面几何问题；
体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
教学重难点
教学重点
用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点
将实际问题转化为向量问题.
教学过程
新课导入
复习：（1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则；
（2）向量平行、垂直的判断方法；
在之前向量的学习中，我们发现，平面几何图形的很多性质都可以用向量表示出来.因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过例题，探究向量方法在平面几何中的应用.
探索新知
例1 如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：，
证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，
所以，.
从而
又，
所以.
于是，
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
例2 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图，取为基底，设，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，
.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
（三）课堂练习
已知P是内的一点，，则的面积与的面积的比值为( )
A. B.2 C.3 D.6
答案：C
解析：在中，设边的中点为D，则.
因为，所以，所以.故选C.
在中，，且，则的形状是___________.
答案：等边三角形
解析：因为，所以，
又为的内角，所以.
又，所以为等边三角形.
已知菱形的边长为，，点分别在边上，，若，则的值为__________.
答案：2
解析：
如图， ，
，
由题意知，
所以
，
解得.
小结作业
小结：
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；
用向量方法解决平面几何问题的应用.
作业：
板书设计
6.4.1 平面几何中的向量方法
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2