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3.2 双曲线(习题课)
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为( )
A. B.3 C.2 D.6
答案：D
解析：由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x，即bx＋ay＝0，设双曲线的右焦点为F(c,0)，c>0，则c2＝a2＋b2，所以焦点到渐近线的距离d＝＝＝b＝3，又离心率e＝＝，所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6.
2.(2021·北京)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案：A
解析：∵e＝＝2，则c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.
3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
4.(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
答案：D
解析：由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
5.(2022·济南模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m等于( )
A. B.－1 C. D．2
答案：A
解析：由渐近线方程y＝±x＝±x，所以＝，则＝，即＝，m＝.
6.(2022·威海模拟)若双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为双曲线C1：－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，为使双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共点，只需>，则离心率为e＝＝＝>＝.
7. (多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案：ACD
解析：对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
8.(多选)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为 B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D.|PF|的最小值为2
答案：ABC
解析：因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以e＝＝，故A正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为PO⊥PF，点F(，0)到渐近线x－2y＝0的距离d＝＝，所以|PF|＝，所以|PO|＝＝2，所以△PFO的面积为××2＝，故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，即|PF|＝，故D不正确．
9.(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: －＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D．(1，)
答案：B
解析：由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，又该圆的圆心为(c，0)，故圆心到渐近线的距离为，则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)，又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2，解得c2<13，即c<，则e＝＝<，又e>1，故离心率的取值范围是.
10.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
答案：C
解析：原方程分别可化为y＝ax＋b和＋＝1.
从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除；
由D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除；
由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除．
由C中的双曲线可得a>0，b<0，由直线可得a>0，b<0.
二、填空题
11.(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程________．
答案：y2－＝1(答案不唯一，符合要求就可以)
解析：取c＝，则e＝＝，可得a＝1，∴b＝＝，因此，符合条件的双曲线方程为y2－＝1(答案不唯一，符合要求就可以).
12.(2022·北京高考)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________．
答案：－3
解析：由题意可知m＜0，则双曲线的标准方程可化为y2－＝1，此时双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，解得m＝－3．
13.(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
答案：y＝±x
解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
14.已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
答案：16
解析：在双曲线－＝1中，2a＝8，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.
15.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为________．
答案：(1，＋∞)
解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，可得a＝2b，由双曲线的左焦点在直线x＋y＋＝0上，可得c＝，则由a2＋b2＝c2，得a＝2，b＝1，双曲线的方程为－y2＝1，由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，设P(m，n)(m>2，n>0)，则－n2＝1，即＝，k1k2＝·＝＝，易知k1，k2>0，则k1＋k2≥2＝1，由A，B分别为双曲线的左、右顶点，可得k1≠k2，则k1＋k2>1.
三、解答题
16.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解：(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵·＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8.
∵＝mn＝4＝×2ch，∴h＝.
即M点到x轴的距离为.
(2)设双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴双曲线C的方程为－＝1.
17.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得＝，①
＝×2c·b＝6，②
a2＋b2＝c2，③
由①②③可得a2＝5，b2＝4，
∴双曲线C的标准方程是－＝1.
(2)由题意知直线l不过点A.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)．
将y＝kx＋m与－＝1联立，消去y，整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0，
由4－5k2≠0且Δ>0，得④
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝.
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，
∴kAD＝＝＝－，
化简得10k2＝8－9m，⑤
由④⑤，得m<－或m>0.
由10k2＝8－9m>0，得m<.
综上，实数m的取值范围是m<－或018.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1) 解：设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，B，
因为|AF|＝|BF|，所以＝a＋c，所以＝a＋c，
所以c－a＝a，即c＝2a，所以e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，
由题意易得∠BAF＝，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，tan∠BAF＝，
所以tan 2∠BAF＝＝＝
＝＝＝＝－＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
19.(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积.
解：(1) 将点A代入双曲线方程得－＝1，化简得a4－4a2＋4＝0，
解得a2＝2，故双曲线方程为－y2＝1；
由题显然直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则联立直线与双曲线消去y，整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，Δ>0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，
化简得：2kx1x2＋(m－1－2k) (x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故＋(m－1－2k) (－)－4(m－1)＝0，
即(k＋1) (m＋2k－1)＝0，而直线l不过A点，故k＝－1.
(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ＝2，得tan＝，
由2α＋∠PAQ＝π得kAP＝tanα＝，即＝，
联立＝与－y2＝1得x1＝，y1＝，
同理，x2＝，y2＝，
故x1＋x2＝，x1x2＝，
而|AP|＝| x1－2|，|AQ|＝| x2－2|，
由tan∠PAQ＝2，得sin∠PAQ＝.
故△PAQ的面积S＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝| x1x2－2(x1＋x2)＋4|＝.
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高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册3.2 双曲线(习题课) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
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选择题
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为( )
A. B.3 C.2 D.6
2.(2021·北京)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1
3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.(2022·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1
5.(2022·济南模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m等于( )
A. B.－1 C. D．2
6.(2022·威海模拟)若双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. (多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
8.(多选)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为 B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D.|PF|的最小值为2
9.(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: －＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D．(1，)
10.若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( )
二、填空题
11.(2022·汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程________．
12.(2022·北京高考)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________．
13.(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
14.已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．
15.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为________．
三、解答题
16.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
17.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
18.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
19.(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积.
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