贵州省贵阳市2023届高三上学期开学理数联合考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·贵阳开学考）已知复数，且， 其中为实数， 则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·贵阳开学考）设集合 ， 则 （ ）
A． B．或
C． D．或
3．（2022高三上·贵阳开学考）目前， 全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200，320，280． 现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40 位学生进行调查， 则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是（ ）
A．6 B．10 C．14 D．16
4．（2022高三上·贵阳开学考）已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022高三上·贵阳开学考）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2022高三上·贵阳开学考）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2022高三上·贵阳开学考）已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数的最小值为， 则 （ ）
A． B． C．e D．
10．（2022高三上·贵阳开学考）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
11．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高三上·贵阳开学考）在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高三上·贵阳开学考）已知向量，，若， 则 ．
14．（2022高三上·贵阳开学考）展开式中的常数项是 ． (用数字作答)
15．（2022高三上·贵阳开学考）甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念， 则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是 ．
16．（2022高三上·贵阳开学考）已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是 ．
三、解答题
17．（2022高三上·贵阳开学考）在数列中， ．
（1）求的通项公式；
（2）若， 求数列的前项和．
18．（2022高三上·贵阳开学考）某校举办传统文化知识竞赛， 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生， 根据他们的竞赛成绩(满分： 100 分)， 按分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校学生成绩的中位数；
（2）已知样本中竞赛成绩在的女生有3人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望．
19．（2022高三上·贵阳开学考）如图，在直四棱柱中，四边形是菱形， 分别是棱的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）若， 求二面角的余弦值．
20．（2022高三上·贵阳开学考）已知椭圆的离心率是，点在椭圆 上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点， 求为坐标原点)面积的最大值．
21．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
22．（2022高三上·贵阳开学考）在平面直角坐标系中， 曲线的参数方程为(为参数)， 以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，点，求的值．
23．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：因为，所以，则由得：
，即，
故，解得：.
故答案为：A.
【分析】 由知，代入化简得，从而得方程，从而解得a，b的值，得到答案.
2．【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由，得，解得，
所以，
因为，
所以，
所以或，
故答案为：D
【分析】 求解一元二次不等式化简B，再由并集与补集运算求解出答案.
3．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为，
所以选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数为：（人）.
故答案为：B.
【分析】 先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数，即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题，，，，
所以.
故答案为：C.
【分析】 根据对数函数和指数函数的单调性即可得出a，b， c的大小关系.
5．【答案】C
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题可知图象关于原点对称，
所以，因为，
所以．
故答案为：C.
【分析】 由题意利用函数y= Asin (x+φ )的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出的值.
6．【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故答案为：A.
【分析】 利用抛物线的性质求出m，n的值，从而求出为坐标原点)的面积.
7．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设圆柱的半径为，，则，，
则该陀螺下半部分的圆柱的体积为，
上半部分的圆锥的体积为，
所以该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是.
故答案为：D.
【分析】设圆柱的半径为，， 由此求出圆柱的底面半径和高，再计算圆柱与圆锥的体积比.
8．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，
所以，
所以.
故答案为：B．
【分析】 由诱导公式，结合二倍角的余弦公式，即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由，得，
当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，
当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
时，函数有最小值，
解得.
故答案为：D.
【分析】求导，根据导数符号可得函数的单调性，进而求出函数的最小值，即可得m的值.
10．【答案】B
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，两角和的正弦公式可求cosA的值，结合A的范围可求出A的值，再结合以及基本不等式，三角形的面积公式即可求解出 面积的最小值 .
11．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】∵，
设，则恒成立，
作出函数与的大致图象，
由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面，
由图象可知当与相切与点时为一个临界值，
把代入，可得，
由，可得或(舍去)，
当过的直线经过时为另一个临界值，此时，
所以.
故答案为：C.
【分析】设，作出函数与的大致图象，过的直线要在函数的图象的下面，则当该直线与f(x)+1相切于C点时为一个临界值，设切点，求解，当过的直线经过时为另一个临界值，此时有，观察图象可得直线的斜率应该在时该直线始终在函数f(x) + 1的下方，进而求得a的取值范围.
12．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；圆方程的综合应用
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴，
，
∴，
∴，
故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，
由圆的性质可得.
故答案为：A.
【分析】建立空间直角坐标系，设，则，利用向量夹角公式可得点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，结合圆的性质可求出 的最小值 .
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，，所以，
又，所以，则，
所以，解得.
故答案为：
【分析】 直接利用向量的模的运算法则以及向量的数量积化简求解，即可求出 的值 .
14．【答案】-14
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
令，得，
故展开式中的常数项为．
故答案为：-14.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】甲、乙、丙等五人在某景点站成一排共有种结果，
把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个元素形成的空中，故共有种结果，
所以甲不站两端且乙和丙相邻的概率是.
故答案为：.
【分析】 甲、乙、丙等五人站成一排照相留念，基本事件总数，把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个元素形成的空中，再根据古典概率公式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为，
双曲线的，
则，
可得，，
由双曲线的定义可得，
可得，
则，
当，，共线时，取得等号．
，则
整理得：
解得或，由于，则，故不符合
所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
【分析】根据双曲线的定义，将转化为，再通过最小值得到等式后求解出a，c的值，进而求出双曲线的离心率.
17．【答案】（1）解：因为 ，
所以当时，，
所以，
所以，
当 时，满足上式，
所以；
（2）解：因为，
则，
从而，
故 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)先将n=1代入题干表达式计算出a1的值，当n≥2时，由 ， 可得 ， 两式相减，进一步运算即可推导出 的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列 的通项公式，再利用裂项相消法即可计算出数列的前项和．
18．【答案】（1）解：因为 ，
所以中位数在[70，80)内．
设中位数为， 则 ， 解得=75．
（2）解：由题意可知的所有可能取值为．
，
，
．
则的分布列为：
0 1 2 3
故 ．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)结合频率分布直方图的性质，以及中位数公式，即可求解出该校学生成绩的中位数；
(2)由题意可得，X的所有可能取值为0， 1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及期望．
19．【答案】（1）证明：连接BD．
因为四边形是菱形， 所以 ．
由直四棱柱的定义可知平面， 则．
因为平面平面， 且 ，
所以平面．
由直四棱柱的定义可知 ∥ ，．
因为分别是棱 的中点， 所以∥，
所以四边形 是平行四边形， 则 ∥．
故平面．
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：记， 以为原点， 分别以的方向为轴的正方向，过垂直平面向上的向量的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则 ，
故．
设平面的法向量为 ，
则，令 ， 得 ；
设平面的法向量为
则，令，得
设二面角为， 由图可知为锐角，
则.
所以二面角的余弦值为：.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接BD，可证得 平面，进而证明EF// BD，可证得平面平面；
(2) 记， 以为原点， 分别以的方向为轴的正方向，过垂直平面向上的向量的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 求得平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值 .
20．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，
设直线 ，
联立 ，整理得 ，
，
所以， 即 或，
则 ，
故 ，
点到直线的距离，
则的面积，
设，则 ，
故 ， 当且仅当时，等号成立，
即面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由题意可得 ，解得a，b的值，可得椭圆的标准方程；
(2) 由题意可知直线的斜率存在，设直线 ， 联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得 ， 由弦长公式可得|PQ|，点到直线的距离公式可得点O到直线l的距离d，再计算△OPQ的面积，利用基本不等式，即可得出 为坐标原点)面积的最大值．
21．【答案】（1）解：由题意可得 ，
则函数在上单调递增，且．
由，得；由，得．
则在上单调递减， 在上单调递增，
故．
（2）证明：要证 ， 即证 ．
由（1）可知当时， 恒成立．
设， 则．
由， 得； 由 ，得．
则在上单调递增， 在上单调递减，
从而， 当且仅当时， 等号成立．
故， 即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)求导，判断函数单调性，进而求得 的最小值；
(2) 要证 ， 即证 ， 设
，通过求导判断单调性，得到 在上单调递增， 在上单调递减， 由此 ，当且仅当时， 等号成立，即可证明 ．
22．【答案】（1）解：由 (为参数)， 得，
故曲线的普通方程为．
由， 得，
故直线的直角坐标方程为
（2）解：由题意可知直线的参数方程为 (参数)．
将直线的参数方程代人曲线的普通方程并整理得，
设对应的参数分别是 ，
则 ，
故 ．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数a，把曲线C的参数方程化为普通方程，由极坐标公式把极坐标方程化为直线 的直角坐标方程；
(2)把直线l的普通方程化为参数方程，将参数方程代人曲线C的普通方程，利用根与系数的关系求出 的值．
23．【答案】（1）解：当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以，
综上，原不等式的解集为；
（2）解：由恒成立，可得恒成立，
因为，
所以， 解得 或．
即的取值范围是 ．
【知识点】函数恒成立问题；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)分类讨论去掉绝对值得不等式组，再解不等式组求并集，即可求解出不等式的解集；
(2)先去掉绝对值，再分离参数，再将恒成立问题转化成变量的最值，即可求解出 的取值范围．
1 / 1贵州省贵阳市2023届高三上学期开学理数联合考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·贵阳开学考）已知复数，且， 其中为实数， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：因为，所以，则由得：
，即，
故，解得：.
故答案为：A.
【分析】 由知，代入化简得，从而得方程，从而解得a，b的值，得到答案.
2．（2022高三上·贵阳开学考）设集合 ， 则 （ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由，得，解得，
所以，
因为，
所以，
所以或，
故答案为：D
【分析】 求解一元二次不等式化简B，再由并集与补集运算求解出答案.
3．（2022高三上·贵阳开学考）目前， 全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200，320，280． 现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40 位学生进行调查， 则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是（ ）
A．6 B．10 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为，
所以选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数为：（人）.
故答案为：B.
【分析】 先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数，即可得答案.
4．（2022高三上·贵阳开学考）已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题，，，，
所以.
故答案为：C.
【分析】 根据对数函数和指数函数的单调性即可得出a，b， c的大小关系.
5．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题可知图象关于原点对称，
所以，因为，
所以．
故答案为：C.
【分析】 由题意利用函数y= Asin (x+φ )的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出的值.
6．（2022高三上·贵阳开学考）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故答案为：A.
【分析】 利用抛物线的性质求出m，n的值，从而求出为坐标原点)的面积.
7．（2022高三上·贵阳开学考）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设圆柱的半径为，，则，，
则该陀螺下半部分的圆柱的体积为，
上半部分的圆锥的体积为，
所以该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是.
故答案为：D.
【分析】设圆柱的半径为，， 由此求出圆柱的底面半径和高，再计算圆柱与圆锥的体积比.
8．（2022高三上·贵阳开学考）已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】因为，
所以，
所以.
故答案为：B．
【分析】 由诱导公式，结合二倍角的余弦公式，即可求出答案.
9．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数的最小值为， 则 （ ）
A． B． C．e D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由，得，
当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，
当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
时，函数有最小值，
解得.
故答案为：D.
【分析】求导，根据导数符号可得函数的单调性，进而求出函数的最小值，即可得m的值.
10．（2022高三上·贵阳开学考）已知的内角对应的边分别是， 内角的角平分线交边于点， 且 ．若， 则面积的最小值是（ ）
A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，
当且仅当取等号，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，两角和的正弦公式可求cosA的值，结合A的范围可求出A的值，再结合以及基本不等式，三角形的面积公式即可求解出 面积的最小值 .
11．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】∵，
设，则恒成立，
作出函数与的大致图象，
由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面，
由图象可知当与相切与点时为一个临界值，
把代入，可得，
由，可得或(舍去)，
当过的直线经过时为另一个临界值，此时，
所以.
故答案为：C.
【分析】设，作出函数与的大致图象，过的直线要在函数的图象的下面，则当该直线与f(x)+1相切于C点时为一个临界值，设切点，求解，当过的直线经过时为另一个临界值，此时有，观察图象可得直线的斜率应该在时该直线始终在函数f(x) + 1的下方，进而求得a的取值范围.
12．（2022高三上·贵阳开学考）在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；圆方程的综合应用
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴，
，
∴，
∴，
故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，
由圆的性质可得.
故答案为：A.
【分析】建立空间直角坐标系，设，则，利用向量夹角公式可得点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，结合圆的性质可求出 的最小值 .
二、填空题
13．（2022高三上·贵阳开学考）已知向量，，若， 则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，，所以，
又，所以，则，
所以，解得.
故答案为：
【分析】 直接利用向量的模的运算法则以及向量的数量积化简求解，即可求出 的值 .
14．（2022高三上·贵阳开学考）展开式中的常数项是 ． (用数字作答)
【答案】-14
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
令，得，
故展开式中的常数项为．
故答案为：-14.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项.
15．（2022高三上·贵阳开学考）甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念， 则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】甲、乙、丙等五人在某景点站成一排共有种结果，
把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个元素形成的空中，故共有种结果，
所以甲不站两端且乙和丙相邻的概率是.
故答案为：.
【分析】 甲、乙、丙等五人站成一排照相留念，基本事件总数，把乙和丙捆绑在一起看作一个元素与甲之外的两个元素排列，又甲不站两端，把甲插入此三个元素形成的空中，再根据古典概率公式即可求出答案.
16．（2022高三上·贵阳开学考）已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为，
双曲线的，
则，
可得，，
由双曲线的定义可得，
可得，
则，
当，，共线时，取得等号．
，则
整理得：
解得或，由于，则，故不符合
所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
【分析】根据双曲线的定义，将转化为，再通过最小值得到等式后求解出a，c的值，进而求出双曲线的离心率.
三、解答题
17．（2022高三上·贵阳开学考）在数列中， ．
（1）求的通项公式；
（2）若， 求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为 ，
所以当时，，
所以，
所以，
当 时，满足上式，
所以；
（2）解：因为，
则，
从而，
故 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)先将n=1代入题干表达式计算出a1的值，当n≥2时，由 ， 可得 ， 两式相减，进一步运算即可推导出 的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列 的通项公式，再利用裂项相消法即可计算出数列的前项和．
18．（2022高三上·贵阳开学考）某校举办传统文化知识竞赛， 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生， 根据他们的竞赛成绩(满分： 100 分)， 按分成五组， 得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校学生成绩的中位数；
（2）已知样本中竞赛成绩在的女生有3人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望．
【答案】（1）解：因为 ，
所以中位数在[70，80)内．
设中位数为， 则 ， 解得=75．
（2）解：由题意可知的所有可能取值为．
，
，
．
则的分布列为：
0 1 2 3
故 ．
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)结合频率分布直方图的性质，以及中位数公式，即可求解出该校学生成绩的中位数；
(2)由题意可得，X的所有可能取值为0， 1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解出 的分布列及期望．
19．（2022高三上·贵阳开学考）如图，在直四棱柱中，四边形是菱形， 分别是棱的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）若， 求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接BD．
因为四边形是菱形， 所以 ．
由直四棱柱的定义可知平面， 则．
因为平面平面， 且 ，
所以平面．
由直四棱柱的定义可知 ∥ ，．
因为分别是棱 的中点， 所以∥，
所以四边形 是平行四边形， 则 ∥．
故平面．
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：记， 以为原点， 分别以的方向为轴的正方向，过垂直平面向上的向量的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则 ，
故．
设平面的法向量为 ，
则，令 ， 得 ；
设平面的法向量为
则，令，得
设二面角为， 由图可知为锐角，
则.
所以二面角的余弦值为：.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接BD，可证得 平面，进而证明EF// BD，可证得平面平面；
(2) 记， 以为原点， 分别以的方向为轴的正方向，过垂直平面向上的向量的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 求得平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值 .
20．（2022高三上·贵阳开学考）已知椭圆的离心率是，点在椭圆 上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点， 求为坐标原点)面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得 ，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，
设直线 ，
联立 ，整理得 ，
，
所以， 即 或，
则 ，
故 ，
点到直线的距离，
则的面积，
设，则 ，
故 ， 当且仅当时，等号成立，
即面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由题意可得 ，解得a，b的值，可得椭圆的标准方程；
(2) 由题意可知直线的斜率存在，设直线 ， 联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得 ， 由弦长公式可得|PQ|，点到直线的距离公式可得点O到直线l的距离d，再计算△OPQ的面积，利用基本不等式，即可得出 为坐标原点)面积的最大值．
21．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：由题意可得 ，
则函数在上单调递增，且．
由，得；由，得．
则在上单调递减， 在上单调递增，
故．
（2）证明：要证 ， 即证 ．
由（1）可知当时， 恒成立．
设， 则．
由， 得； 由 ，得．
则在上单调递增， 在上单调递减，
从而， 当且仅当时， 等号成立．
故， 即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法和综合法
【解析】【分析】(1)求导，判断函数单调性，进而求得 的最小值；
(2) 要证 ， 即证 ， 设
，通过求导判断单调性，得到 在上单调递增， 在上单调递减， 由此 ，当且仅当时， 等号成立，即可证明 ．
22．（2022高三上·贵阳开学考）在平面直角坐标系中， 曲线的参数方程为(为参数)， 以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，点，求的值．
【答案】（1）解：由 (为参数)， 得，
故曲线的普通方程为．
由， 得，
故直线的直角坐标方程为
（2）解：由题意可知直线的参数方程为 (参数)．
将直线的参数方程代人曲线的普通方程并整理得，
设对应的参数分别是 ，
则 ，
故 ．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)消去参数a，把曲线C的参数方程化为普通方程，由极坐标公式把极坐标方程化为直线 的直角坐标方程；
(2)把直线l的普通方程化为参数方程，将参数方程代人曲线C的普通方程，利用根与系数的关系求出 的值．
23．（2022高三上·贵阳开学考）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，原不等式可化为，解得，所以；
当时，原不等式可化为，解得，所以，
综上，原不等式的解集为；
（2）解：由恒成立，可得恒成立，
因为，
所以， 解得 或．
即的取值范围是 ．
【知识点】函数恒成立问题；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)分类讨论去掉绝对值得不等式组，再解不等式组求并集，即可求解出不等式的解集；
(2)先去掉绝对值，再分离参数，再将恒成立问题转化成变量的最值，即可求解出 的取值范围．
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