2022-2023初中数学北师大版八上第三章--位置与坐标复习讲义

第三章 位置与坐标
知识点一、平面内确定物体位置的方法
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据．
1．行列定位法：将平面分成若干行与列，然后根据物体所在行数与列数两个数据来确定物体的位置．
2．经纬定位法：在地球表面要确定一个物体的位置，通常需要知道两个数据，即经度、纬度．
3．方位角和距离定位法：以观测点为基准，用物体所在的方位角和到观测点之间的距离两个数据来确定物体的位置．
知识点二、平面直角坐标系
1．在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点．
2．在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．
知识点三、平面直角坐标系内点的坐标特点
1．坐标平面内点的坐标特点
点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴 y轴 原点
横坐标符号 + - - + 任意数x 0 0
纵坐标符号 + + - - 0 任意数y 0
点的坐标符号 （+，+） （-，+） （-，-） （+，-） （x，0） （0，y） （0，0）
2．（1）点P（a，b）到x轴的距离为∣b∣，到y轴的距离为∣a∣．
（2）平行于x轴的直线上的点，纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点，横坐标相同．
知识点四、建立适当的平面直角坐标系
建立适当的平面直角坐标系，一般有如下方法：
1．使图形中尽量多的点在坐标轴上．
2．以某些特殊线段所在直线为x轴或y轴（如：中线、高线等）．
3．以轴对称图形的对称轴为x轴或y轴．
4．以某已知点为原点，使它的坐标为（0，0）．
知识点五、关于坐标轴对称点的坐标特点
1.关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
2.关于y轴对称的两点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
三、题型归纳
题型一、确定物体位置
例1、如图，表示甲、乙、丙三人在排练厅所站的3块地砖．若甲、乙所站的地砖分别记为（2，2），（4，3），则丙所站的地砖记为（　　）
A．（5，6） B．（6，5） C．（7，6） D．（7，5）
【分析】利用甲、乙地砖所在列数与行数与其记法，可得出最后一个位置的表示方法．
【解析】∵甲地砖记为（2，2），可知甲地砖在第2列第2行；乙地砖记为（4，3），可知乙地砖在第4列第3行，∴丙所站的地砖在第7列第5行，记为（7，5）．
【答案】D.
题型二、平面直角坐标系
例2.小米家位于公园的正东100米处，从小米家出发向北走250米就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴正方向建议平面直角坐标系，则公园的坐标是（　　）
A．（﹣250，﹣100） B．（100，250）
C．（﹣100，﹣250） D．（250，100）
【分析】根据题意画出平面直角坐标系，进而确定公园的坐标．
【解析】如图，公园的坐标是（﹣100，﹣250）．
【答案】C．
题型三、平面直角坐标系中点的坐标特点
例3、已知A在第三象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解析】∵点A位于第三象限，且点A到x轴的距离为3，点A到y轴的距离为4，∴点A的横坐标是﹣4，纵坐标是﹣3，∴点A的坐标为（﹣4，﹣3）．
【答案】C．
例4、若点M（a，3﹣a）在x轴上，则点M的坐标是　 　．
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案．
【解析】∵点M（a，3﹣a）在x轴上，∴3﹣a=0，解得a=3，则点M的坐标是（3，0）．
【答案】（3，0）．
例5、在平面直角坐标系中，O为原点，A（1，0），B（﹣3，2）．若BC∥OA且BC=2OA，则点C的坐标是　 　．
【分析】直接利用已知画出图形，再利用BC∥OA且BC=2OA得出C点位置．
【解析】如图，∵A（1，0），B（﹣3，2），BC∥OA且BC=2OA，∴点C的坐标是：（﹣5，2）或（﹣1，2）．
【答案】（﹣5，2）或（﹣1，2）．
题型四、建立适当的平面直角坐标系
例6、如图所示，正方形ABCD的边长为10，连接各边的中点E，F，G,H得到正方形EFGH，请你建立适当的直角坐标系，分别写出A，B，C，D，E，F，G，H的坐标．
【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，根据正方形的性质，中点的概念解答．
【解析】建立如图所示的直角坐标系，由正方形的性质可知，点A，B，C，D的坐标分别为：（0，10），（0，0），（10，0），（10，10），∵点E，F，G，H分别是正方形各边的中点，∴点E，F，G，H的坐标分别为：（0，5），（5，0），（10，5），（5，10）．
题型五、求坐标平面内三角形的面积
例7、如图所示的直角坐标系中，三角形的面积是（　　）
A．4 B．6 C．4.5 D．5
【分析】根据图中点B、C的坐标求得线段BC=4，根据点A的坐标知△ABC底边上的高
AD=3，由三角形的面积公式来求△ABC的面积．
【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D．∵A（2，3），B（-1，0），C（3，0），∴BC=4，AD=3，则S△ABC=BC AD=×4×3=6．
【答案】B．
例8、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣1），B（0，3），点M为第二象限内一点，且点M的坐标为（t，1）．
（1）请用含t的式子表示△ABM的面积；
（2）当t=﹣2时，在x轴的正半轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
【分析】（1）求出AB，根据三角形的面积公式求出即可；（2）求出△BMP的面积，得出方程，求出方程的解即可．
【解析】（1）∵A（0，﹣1），B（0，3），∴AB=3﹣（﹣1）=4．
∵点M为第二象限内一点，且点M的坐标为（t，1），∴点M到AB的距离为﹣t，∴△ABM的面积是4×（﹣t）=﹣2t．
（2）如图，过点M，P分别作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，构造出长方形．
当t=﹣2时，△ABM的面积是﹣2×（﹣2）=4．
∵P点在x轴的正半轴上，∴设P点的坐标为（m，0）（m＞0），
则S△BPM=S长方形PEDC﹣S△BEP﹣S△BDM﹣S△MCP=（m+2）×3﹣m×3﹣2×2﹣（m+2）×1=m+3．
由题意，得m+3=4，解得m=1，即点P的坐标是（1，0）．
【答案】（1）﹣2t．（2）（1，0）．
题型六、关于坐标轴对称的点的坐标特点
例9、已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），下列说法正确的是（　　）
A．点A与点B（2，﹣3）关于x轴对称
B．点A与点C（﹣3，﹣2）关于x轴对称
C．点A与点D（2，3）关于y轴对称
D．点A与点E（3，2）关于y轴对称
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解析】∵点A的坐标为（﹣2，3），∴点A关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3），
点A关于y轴对称的点的坐标为（2，3），∴A、B、D错误；C正确．
【答案】C．
例10、已知点A（﹣3，0），B（5，4），点P是线段AB的中点，P与Q关于x轴对称，则Q点坐标是　 　．
【分析】依据中点公式即可得到P（1，2），再根据P与Q关于x轴对称，即可得出Q点坐标是（1，﹣2）．
【解析】∵A（﹣3，0），B（5，4），点P是线段AB的中点，∴P（，），即P（1，2），又∵P与Q关于x轴对称，∴Q点坐标是（1，﹣2）.
【答案】（1，﹣2）．
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