2022-2023初中数学北师大版九上第二章 -- 一元二次方程复习 教案

第二章 一元二次方程
思维导图
考点一、一元二次方程的相关概念
只含有一个未知数x的整式方程，未知数的最高次数是2，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
特别提醒：
判断一个方程是否为一元二次方程的根据:
①是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2；
④可以化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
这四个条件必须同时满足，缺一不可.
一元二次方程的一般形式:
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）.其中a2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为一次项系数和一次项系数.
特别提醒：
一次项系数、一次项系数和常数项都是方程在一般形式的前提下定义的，所以求一元二次方程各项的系数时，必须先将方程化为一般形式．
（2）只有当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0才是关于x的一元二次方程．如果指明ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则隐含了a≠0的条件．
（3）确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视：
①先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘-1，将其二次项系数转化为大于0的数；
②指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉；
③特例：若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则
c＝0.
用估算法求一元二次方程的近似解:
一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解.
特别提醒：
当相邻的两个数，一个使a2＋bx＋c＜0（a≠0），一个使ax2＋bx＋c＞0（a≠0），则一元二次方程a2＋bx＋c＝0（a≠0）的解就介于这两个数之间．认真观察代数式ax2＋bx＋c的特点和取值走向，就能很快找到这样的两个数.
根据问题情境，列出一元二次方程
一元二次方程与ー元一次方程一样，都是刻画现实问题的数学模型.列方程最重要的是审题，只有透彻地理解题意，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程.
考点二、一元二次方程的解法
直接开平方法
如果方程的一边可化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负
数，就可以用直接开平方法求解.
2.解一元二次方程的思路：将方程化为（x＋m）2＝n的形式，它的一
边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，方程两边
同时开平方把方程转化为一元一次方程，便可求出它的根.
适合用直接开平方法解的一元二次方程有三种类型：
①x2=m（m≥0）；
②（x＋m）2＝n（n≥0）；
③a（x＋m）2＝b（ab≥0且a≠0）.
特别提醒：
用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况.
配方法
1.概念：通过把一个一元二次方程配成完全平方式的方法得刻一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.
2.依据：完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.
3.配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化：把二次项系数化为1；
②移：移项（把常数项移到方程的右边，二次项与一次项移到方程的左边）；
③配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；
④变：原方程变形为（x＋n）2＝p的形式；
⑤开：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，则一元二次方程无实数根.
4.关键：用配方法解一元二次方程的关键步骤是方程两边同时加上次项系数一半的平方.
特别提醒：
配方时易出现的错误：
①移项忘记变号；
②系数化为1时漏项；
③方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.
公式法
求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
当b2－4ac≥0时，
它的根是x=，
这个式子称为一元二次方程的求根公式.
2.公式法：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
特别提醒：
公式法是解一元二次方程的一般方法，也就是说可以解任何一个一元二次方程.
3.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；
求出b2－4ac的值；
（3）若b2－4ac≥0，则把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式x=
中，求出x1,x2；若b2－4ac＜0，则方程没有实数根，不必代入求根公式.
特别提醒：
用公式法解一元二次方程的两点注意：
①一定要先把方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，注意不要出现符号错误；
②先计算b2－4ac的值，再确定是否代入求根公式求解.
因式分解法
1.概念：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分成两个一次因式的乘积时，可用解两个一元一次方程的方法求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方程称为因式分解法.
2.理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
3.适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式.
4.利用因式分解解一元二次方程的常用方法：
（1）提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式.
（2）逆用平方差公式（a+b）（a-b）＝a2-b2和完全平方公式
（a±b）2＝a2土2ab＋b2来分解因式.
5.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移：将方程的右边化为0.
②分：把方程的左边分解为两个一次因式的积的形式.
③化：令每个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程.
④解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根.
特别提醒：
①因式分解法只能解某些特殊的一元二次方程，不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解；
②用因式分解法解一元二次方程时，一定要把方程的右边化为0，否则会出现错误；
③用因式分解法解方程时，不要将方程两边同时除以含有未知数的式子，这样容易造成丢根现象.
选适当的方法解一元二次方程
1.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论依据及适用范围如下表：
方法 理论依据 适用范围 关键步骤
直接开平方法 平方根的意义 （x+m）2=n（n≥0） 开方
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方
公式法 b2-4ac≥0 所有一元二次方程 代入求根公式
因式分解法 若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的方程 因式分解
2.选择解法的步骤是：先特殊，再一般．即先考虑能否用直接平方法和因式分解法，再考用公式法，若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法解方程也比较方便.
考点三、根的情况
根的判别式及其表示
根的判别式：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式是b2-4ac.
2.表示：通常用希腊字母“”表示，即＝b2－4ac.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）实数根的情况
的符号 方程根的情况
＞0 有两个不相等的实数根
=0 有两个相等的实数根
＜0 没有实数根
特别提醒：
①一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根.此时b2－4ac＞0，切勿丢掉等号.
②区分“方程有实数根”与“一元二次方程有实数根”：“方程有实数根”中的方程可以是一元一次方程，还可以是其他方程，只要有实数根即可；“一元二次方程有实数根”隐合两个条件：二次项
系数不为0，且判别式b2一4ac为非负数.
③当一元二次方程有两个相等的实数根时，一般不说方程只有一个实数根；
④当a，c异号时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）一定有两个不相等的实数根.
考点四、根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系
数学语言：如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2=-，x1x2=.
2.文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
3.使用条件：
（1）方程是一元二次方程，即二次项系数a＝0；
（2）方程有实数根，即△≥0.
4.重要推论：设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，
则x1+x2=-p，x1x2=q.
5.常见变形：①；
②；
③；
④；
⑤.
特别提醒：利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意：
①一元二次方程方程必须有两个实数根（≥0）.
②x1+x2=-中的负号与方程中a，b的符号不要混淆.
考点五、一元二次方程的应用
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的数量关系以及相等关系.
（2）设：设出题目中的一个未知数.
（3）列：根据这个相等关系列出代数式，从而列出方程.
（4）解：解方程，求出未知数的值.
（5）验：检验所求得的解是否符合题意.
（6）答：写出答案.
特别提醒：列一元二次方程解决实际问题的四点注意：
①注意挖掘题日中隐含的等量关系
②注意文字语言与数学语言的转化，能把文字语言表迷的条件用式子表示出来.
③注意列方程时各量之间的单位要统一.
④注意对求出的结果进行检验，看其是否为原方程的解以及是否符合实际.
几种常见的应用题的类型
（1）根据常见的几何图形的面积、体积或周长公式来列方程是一种常见的应用题类型.
常见的面积公式S矩形＝ab,S正方形＝a2，S圆＝πR2，S三角形=ah；
常见的体积公式：V长方体＝abc,V正方体＝a3，V圆柱＝πR2h，V圆锥＝πR3h.
（2）平均增长率和平均降低率问题
平均增长率问题：设基数为a，每次的平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1+x）,两次增长后的值为a（1+x）2，以此类推，n次增长后的值为a（1+x）n.如果增长n次后的量为b，那么可列方程
a（1+x）n=b.
平均降低率问题：设基数为a，每次的平均降低率为x，则一次降低后的值为a（1-x）,两次降低后的值为a（1-）2，以此类推，n次降低后的值为a（1-x）n.如果降低n次后的量为b，那么可列方程
a（1-x）n=b.
销售利润问题
此类问题常见的等量关系有：
利润=售价-进价；
利润率×100%==×100%；
售价=进价×（1+利润率）；
总利润=每件商品的利润×销售总数量=销售总额-总成本.
（4）动点问题
此类问题是一般几何问题的延伸，要学会用运动的观点看问题.根据条件设出未知数后，应想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中给出的等量关系（可以是图形的面积，勾股定理等）列出方程.
（5）数字问题
解答数字问题的关键是设出未知数，一般采用同接设元法.例如有关三个连续整数（或连续偶数、连接奇数）的问题，一般设中同一个数为x，再用含x的代数式表示其余两个数：或多位数问题，一不直接设这个数本身，而是设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字.