2022-2023初中数学北师大版九上第六章 反比例函数复习精品 教案

第六章 反比例函数
思维导图
考点一、反比例函数的概念
1.概念：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．反比例函数的自变量x不能为零.
2.常见解析式的形式：
①y=（k为常数，k≠0）；
②y=kx-1（k为常数，k≠0）；
③xy=k（k为常数，k≠0）.
特别提醒：
判断一个函数是否是反比倒函数，要紧扣概念，理解反比例函数解析式的三种形式的本质，即不能只看表面形式，关键要看是否能转化为反比例函数解析式的三种形式.
先看它是否符合反比例函数的三种表达形式之一，再看常数k是否不等于零.
注意：
（1）在反比例函数的解析式y=中，x，y，k均不为0；
（2）在实际问题中，除自变量x不为0外，还应根据具体情况来确定x,y的取值范围.
4.拓展：
（1）若ab=k（k为常数，k≠0）,则a与b这两个量成反比例关系，这里的a，b既可以代表单项式，也可以代表多项式．例如，若y-3与x+1成反比例，则y-3=（k≠0）；若y与x3成反比例，则y=（k≠0）；
（2）反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，但反比例关系不一定构成反比例函数.例如，y=表示y与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数.
【方法总结】此类题目多以选择题或填空题形式出现，需要熟练掌握反比例函数的三种常见形式：①y=（k为常数，k≠0）；②y=kx-1（k为常数，k≠0）；③xy=k（k为常数，k≠0）.这三种表达形式是等价的，即可以从一种形式推出另外一种形式.
反比例函数表达式的确定：
可以用待定系数法来确定反比例函数的表达式，由于在反比例函数y=（k为常数，k≠0）中，只有一个待定系数k，因此只需要一对x,y的值即可求出k的值，从而确定函数表式.
特别提醒：
用待定系数法求反比倒函数表达式的一般步骤：
设出含有待定系数的反比例函数的表达式y=（k≠0）；
把已知条件（自变量和函数的对应值）代入表达式，得到关于待定系数的
方程：
（3）解方程求出待定系数；
（4）将求得的待定系数的值代回所设的表达式中，即可得到反比例函数的表达
式.
【方法总结】“待定系数法”求反比例函数解析式的方法：
（1）确定反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.
（2）由于反比例函数的解析式y=中只有一个待定系数k，只需一对对应的x、y的值即可求出待定系数k的值，从而确定反比例函数的解析式.
一般步骤：
（1）设：设出反比例函数的解析式y＝（k≠0）；
（2）列：把已知（x，y）的一对对应值同时代入y＝（k≠0），得到关于k的方程；
（3）解：解方程，求出k的值；
（4）代：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式.
根据实际问题列反比例函数的表达式
对于一个实际问题，要判断其中的两个变量是否成反比例函数关系，首先应根据题意写出函数的表达式，然后再进行判断．对于实际问题中函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义外，还要使实际问题有意义.
考法二、反比例函数的图像和性质
1.反比例函数图象的画法
反比例函数图象的画法（描点法）：
（1）列表：自变量的取值应以0（但x≠0）为中心，向两边取几对绝对值相等而符号相反的数（如1和-1，2和-2，3和-3等），再求出对应的y值；
（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.
反比例函数的图象和性质：
1.图象：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中的自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.
2.关于反比例函数的图象与性质列表归纳如下：
反比例函数 y=（k≠0）
K的符号 K＞0 K＜0
图象
性质 （1）x的取值范围是x≠0，y的
取值范围是y≠0；
（2）当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，并且在每一象限内，y的值随x值的增大而减小. （1）x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0；（2）当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，并且在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
特别提醒：
只要知道k的符号、双曲线的位置、增减性（在每一个象服内y随x的变化情）中的一个，就可以推出另外的两个.
注意：
（1）描述函数值的增减情况时，必须指出“在每一象限内”.
（2）|k|越大，图象弯曲程度越小，离原点越远；|k|越小，图象弯曲程度越大，离原点越近.
（3）比较函数值或自变量的大小时要先判断所有点是否在同一分支，若在同一分支上：在第二、四象限内，y随x的增大而增大；在第一、三象限内，y随x的増大而减小；若不在同一分支上，需要先判断对应的函数值（或自変量的值）与0的大小（可以数形结合作出草图辅助判断），再比较同一分支上点的坐标大小.
反比例函数表达式中比例系数k的几何意义：
1.过y＝（k≠0）图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于于|k|.
2．连接y＝（k≠0）图象上任意一点与原点，并从该点向x轴或y轴作垂线，可得一个直角三角形，这个直角三角形的面积等于|k|.
3.反比例函数中，比例系数的几何意义常在于求图形的面积或函数的解析式时使用．
特别提醒：
面积为正数，比例系数不一定是正数；
根据图象所在象限，确定比例系数的正负.
【方法总结】明确系数k的几何意义：连接y＝（k≠0）图象上任意一点与原点，并从该点向x轴或y轴作垂线，可得一个直角三角形，这个直角三角形的面积等于|k|.利用这个结论，可以将待求的△ABC的面积通过△AOC和△BOD转化成梯形ABDC的面积，具体方法如下：
考法三、反比例函数的实际应用
利用反比例函数的图象解决实际问题
利用反比例函数的图象可以解决两个变量之间的数量关系问题，从体现了“形”与“数”的结合.
（1）已知反比例函数图象上一点的坐标，可以求出这个函数的表达式；
（2）已知x或y的值，在平面直角坐标系的坐标轴上找出表示x或y值的点，
过该点作x或y轴的垂线，找到图象上的对应点，过这一点再作另一坐标轴的垂线，可求出另一变量的值；
（3）利用函数图象的变化趋势，可以判断函数中y的值随x值的变化而变化的
情况，一般地，若从左向右看，函数图象呈上升的趋势，则此时y的值随x值的增大面增大反之，y的值随x值的增大面减小.
特别提醒：
列实际问题的函数表达式时，一定要理清各变量之间的关系，还要根据实际况，确定自变量的取值范围.
反比例函数与一次函数图象的交点
交点：求两个函数图象的交点，即图象的公共点，往往把两个函数的表达式联立组成方程组，方程组的解就是交点的坐标.
2.一次函数与反比例函数的结合：
（1）正比例函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0），当k1与k2同号时，正比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点，交点坐标就是它们的表达式联立组成的方程组的解，且两个函数图象的交点关于原点对称；当k1与k2异号时，两个函数的图象没有交点；
(2)一次函数y=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象的交点个数有三种情况：1个，2个或0个.因为两个函数表达式联立组成一个二元方程组，可化成一个一元二次方程，所以两个函数图象的交点个数由这个一元二次方程实数解的个数来决定.
【方法总结】在反比例函数的实际应用中常出现分段问题，解决此类分段函数时，要注意函数对应自变量的取值范围，所给的自变量的值是哪个函数上的点.根据不同的自变量所对应的函数解析式不同，运用相应的函数的性质解题.