2022-2023初中数学人教版八上第十四章整式的乘法与因式分解复习 精品教案

第十四章 整式乘法与因式分解
知识点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 ．
用式子表示为：（都是正整数）．
2.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数 相减 ．
3.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数 相乘 ．
用式子表示为：（都是正整数）．
4.积的乘方法则：积的乘方等于各因数 乘方 的积．
用式子表示为：（是正整数）．
5.零指数和负指数：任何不等于零的数的零次方等于 1 ；一个不等于零的数的-p次方等于这个数的p次方的 倒数 ．
知识点二、整式乘法
整式乘法法则
（1）单项式乘以单项式，应把它们的系数、相同字母分别 相乘 ，对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个 因式 ．例如：
（2）单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 ．
即：，其中为单项式，为多项式.
（3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加 ．即：
知识点三、乘法公式
1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.
即；
2.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，即，.
3.三项完全平方公式：
4.二次三项式：
5.
6.立方和公式：
7.立方差公式：
知识点四、因式分解
一、定义：把一个较复杂的整式写成几个单项式或多项式的乘积的过程叫做因式分解.
二、因式分解的常见方法：提公因式法，代用乘法公式法、分组分解法和十字相乘法，俗称“一提二代三分组四分解”.
三、将乘法公式反过来写，就能得到因式分解中所用的公式，常用公式有如下10个：
⑴ . ⑵ .
⑶. ⑷ .
⑸ .
⑹ .
⑺ . ⑻ .
⑼ .
⑽ .
四、相关技巧：
1.在因式分解的过程中，可能需要多次应用乘法公式或提公因式，直到不能继续分解为止.
2.如果整式的所有项没有公因式可以提取，也无法直接运用乘法公式，这样的式子需要分组分解. 一般来讲，分组分解大致可以分为三步：
（1）将原式的项适当分组；
（2）对每一组进行处理，提公因式或代入乘法公式；
（3）将经过处理后的每一组当作一项，再采用提公因式或代入乘法公式的方法来进行因式分解；
3.为便于分组分解，常常会用到拆项和添项的技巧.
方法技巧提炼
灵活运用同底数幂乘法公式，多个同底数幂相乘时也可以使用，同时可以逆用，即：
幂的乘方也可以逆用，即：
积的乘方也可以逆用，即：
幂的比较大小方法：
转化成同底数，比较指数大小
转化成同指数，比较底数大小
找中间量，和中间量比大小
作商法，结果与1比大小
5. 单项式与单项式相乘
解题可分三步：
（1）将系数相乘；（2）将相同字母相乘；（3）将单独的单项式写在最后的积中.
6.多项式与多项式相乘:注意符号、注意不要漏乘.
7. 完全平方公式
口诀：首平方、尾平方、2倍首尾放中央.
例题回顾：
例题1.若2m=a，2n=b，m，n均为正整数，则25m+n的值是　a5b　．
【解答】当2m=a，2n=b时，
原式=25m 2n=（2m）5 2n=a5b.
【答案】a5b.
例题2.若a=20180，b=2016×2018﹣20172，，则a、b、c的大小关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【解答】∵a=20180=1，
b=2016×2018﹣20172=（2017﹣1）（2017+1）﹣20172
=20172﹣1﹣20172=﹣1，
=（﹣）2017×（）2017×=（﹣）2017×
=（﹣1）2017×=﹣．
∵﹣＜﹣1＜1，∴c＜b＜a.
【答案】D．
例题3.（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=　　．
【解答】原式=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）
=××××…××
=×
=，
【答案】．
例题4.若a+b=5，ab=3，则2a2+2b2=　　．
【解答】原式=2（a2+b2）=2[（a+b）2﹣2ab]=2[52﹣2×3]=38．
【答案】38．
例题5.因式分解：﹣4x2+10x=　_______　．
【解答】﹣4x2+10x=﹣2x（2x﹣5）．
【答案】2x（2x﹣5）．
例题6.分解因式：﹣9x2+y2=　__________　．
【解答】﹣9x2+y2=﹣（3x+y）（3x﹣y）．
【答案】﹣（3x+y）（3x﹣y）．
例题7.若a﹣b=4，则2a2﹣4ab+2b2﹣12的值为　______　．
【解答】∵2a2﹣4ab+2b2﹣12=2（a﹣b）2﹣12，
将a﹣b=4代入上式得：原式=2（a﹣b）2﹣12=2×42﹣12=20．
【答案】20．
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