高一数学人教A版（2019）必修二学案：6.2.4向量的数量积（含答案）

第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
学习目标
1. 通过实例分析，理解平面向量的数量积的概念及其意义，会计算平面向量的数量积；
2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；
3. 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
基础梳理
1. 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的__________（或__________），记作__________，即__________.
规定：零向量与任一向量的数量积为__________.
2. 设是两个非零向量，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量__________，叫做向量在向量上的__________.
3. 向量数量积的性质：
设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
（1）__________.
（2）__________.
（3）当与同向时，__________；当与反向时，__________.特别地，__________或__________.
此外，由还可以得到
（4）__________.
4. 向量数量积的运算律：
对于向量和实数，有
（1）__________；
（2）____________________；
（3）__________.
随堂训练
1. 对于向量和实数，下列命题中是真命题的是(　　)
A．若，则或
B．若，则或
C．若，则或
D．若，则
2. 已知向量满足，，则(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
3. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么(　　)
A． B． C． D．4
4. 已知空间向量，，且与垂直，则与的夹角为(　　)
A． B． C． D．
5. 已知，且，则在方向上的投影为________，在方向上的投影为________．
6. 已知，在方向上的投影是，则为 ．
7. 已知在△ABC中，AB＝AC＝4，，判断△ABC的形状．
答案
基础梳理
1. 数量积；内积；；；0.
2. 投影；投影向量.
3. ；；；；；；.
4. ；；；.
随堂训练
1. 答案：B　
解析：当与夹角为时，，A错误；即，C错误；数量积不能约分，D错误．故选B．
2. 答案：B
解析：因为，故选B.
3. 答案：C
解析：，所以.故选C.
4. 答案：D
解析：∵与垂直，∴，∴，∴.∵，∴.故选D.
5. 答案：；-4
解析：设与的夹角为θ，则有，所以向量在向量方向上的投影为；向量在向量方向上的投影为.
6. 答案：2
解析：设与的夹角为θ，则在方向上的投影，
所以.
7. 答案：△ABC为等边三角形.
，
即，于是，
因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
2