2019-2020学年高中数学人教版A（2019）必修第二册学案：6.4.3（第三课时）应用举例（含答案）

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第三课时）应用举例
学习目标
1. 能够运用余弦定理、正弦定理的知识解决测量距离、高度、角度等实际问题。
2. 了解余弦定理、正弦定理在实际生活中的应用。
3. 通过实际问题的解决，提高知识的综合运用能力和应用意识
基础梳理
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。
随堂训练
1.距离问题
1、路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2、一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西方向上,另一灯塔在船的南偏西方向上,则这艘船的速度是( )
A.5海里/时 B.海里/时
C.10海里/时 D.海里/时
3、如图,一货轮航行到处,测得灯塔在货轮的北偏东,与灯塔相距,随后货轮按北偏西的方向航行后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )
A.
B.
C.
D.
4、我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为_______米.
5、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是m，则河流的宽度 m．
6、已知船在灯塔北偏东80°处,且到的距离为船在灯塔北偏西40°处, ,两船的距离为,则到的距离为__________.
7、如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处,且与岛屿A相距海里,渔船乙以海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用小时追上,此时到达处.
(1).求渔船甲的速度;
(2).求的值.
2.高度问题
8、如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ）
A． B． C． D．
9、在一幢高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为,塔基的俯角为,那么这座塔吊的高是( )
A. B.
C. D.
10、在高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是、,则塔高为( )
A. B. C. D.
11、北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（　　）米/秒。
A. B. C. D.
12、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度＝______________m．
13、为绘制海底地貌图,测量海底两点间的距离,海底探测仪沿水平方向在两点进行测量,在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得,,,同时测得海里。
1.求的长度;
2.求之间的距离
3.角度问题
14、在高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和,则塔高是( )
A. B. C. D.
15、某次测量中,甲在乙的北偏东,则乙在甲的( )
A.北偏西
B.北偏东
C.南偏西
D.南偏西
16、江边有一炮台高,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为和,而且两条船与炮台底部连线成度角,则这两条船相距( )
A. B. C. D.
17、如图,某人在塔的正东方向上的处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达处,在点处望见塔的底端在东北方向上.已知沿途塔的仰角的最大值为.
1.该人沿南偏西的方向走到仰角最大时,走了几分钟
2.求塔高.
答案
随堂训练
1.答案：A
解析：如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则,,
∴.由正弦定理知, ,∴米.
2.答案：C
解析：如图依题意有,,
∴,从而,
在中,求得,
∴这艘船的速度是(海里/时)
3.答案：B
解析：由题意知,,,,
中利用正弦定理可得 .
海里
∴货轮航行的速度海里/小时。故选:B
4.答案：54
解析：设该小区的住宅楼楼间距为x米，在观测点测得该小区正对面住宅楼楼顶的仰角为α,
楼底的俯角为β.如图，则，所以，化简得，解得(负值舍去).
5.答案：
解析：由题意得，，
所以．
6.答案：
解析：如图,由题意可得,.
设则由余弦定理可得:,
即,整理得解得.
7.答案：(1).依题意知, (海里)
(海里), ,
在中,由余弦定理得
,
解得,
∴渔船甲的速度为 (海里/时)
(2).在中, (海里), ,
(海里), ,
由正弦定理,得,
∴.
8.答案：D
解析：在中，，
由正弦定理得，，
在中，，故选：D.
9.答案：B
解析：如图：
,，；
则,
，
∴，
故选B。
10.答案：A
解析：根据题意画出示意图.
在,,
在中,由,
得.
11.答案：A
解析：由条件得中，，，，，由正弦定理得，则在中，，所以速度（米/秒），故选A.
12.答案：
解析：设此山高,则，
在△ABC中,∠BAC=30 ,∠CBA=105 ,∠BCA=45 ，AB=600.
根据正弦定理得，
解得(m)，故答案为：.
13.答案：1.在中
∵
∴
由正弦定理可得,,.
2.∵,
∴∴
在中,由余弦定理得,
即(海里).
14.答案：A
解析：如下图,设为山高, 、分别为建筑物顶端与建筑物低端.
在中,由正弦定理,得米.
在中,由正弦定理,得米.
故该建筑物高为米.
15.答案：D
解析：如图可知,D项正确.
16.答案：D
解析：设炮台顶部为，两条船分别为炮台底部为可知
分别在和中，求得
在中，由余弦定理，得，解得故选
17.答案：1.依题意,知在△中, ,米,
,
由正弦定理,
得
(米).
在中, ,
∵为定长,
∴当的长最小时, 取最大值,此时.
当时,在中, (米).
设该人沿南偏西的方向走到仰角最大时,走了分钟,
则 (分钟).
2.由1,知当取得最大值,此时.
在中, .
∴在中,
(米)
即所求塔高为米.
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