第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
学习目标
掌握用坐标表示平面向量的数乘运算；
理解用坐标表示两个向量共线的条件.
明确中点坐标公式的推导过程及其应用.
基础梳理
已知，.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数_________原来向量的相应坐标.
设，，向量，共线的充要条件是______________.
中点坐标公式：若点的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则
随堂训练
已知，，则的坐标为( )
A. B. C. D.
下列各组向量中，共线的是( )
A. B.
C. D.
已知三点，，共线，则x为( )
A. B. C. D.
已知，若，则的坐标为__________.
已知点和向量，若，则点的坐标为__________.
已知.若，判断三点是否共线，并说明理由.
答案
基础梳理
1．；乘.
2．.
3．；.
随堂训练
答案：C
解析：.故选C.
答案：B
解析：若与共线，
则存在实数使得，
经过验证，只有B满足条件.故选B.
答案：B
解析：设，
所以，
所以，
所以，，所以.故选B.
答案：
解析：因为，
所以，
故，所以.
答案：
解析：设点，则，
∵，∴，
所以点的坐标为.
答案：共线.
因为，
所以.
因为，
所以，所以三点共线.
2第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
1. 理解平面向量的正交分解；
2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示.
基础梳理
1. 平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相__________的向量，叫做把向量作正交分解.
2. 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对__________叫做向量的坐标，记作__________.其中，x叫做在__________轴上的坐标，y叫做在__________轴上的坐标， __________叫做向量的坐标表示.
随堂训练
1. 如图所示直角坐标系中，（ ）
A. B. C. D.
2. 在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点，，将向量绕点逆时针方向旋转后，得向量，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知是坐标原点，点在第二象限，则向量的坐标为________.
5. 在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标.
（1）的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2）的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3）的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
6. 在直角坐标系中，向量的方向如图所示，且，，，分别求出的坐标.
答案
基础梳理
1. 垂直.
2. (x，y)；；x；y；.
随堂训练
1. 答案：C
解析：取作为基底，由图可知，，所以.
2. 答案：D
解析：取作为基底，由图可知，，所以.
3. 答案：A
解析：由题意知，.
设向量与轴正半轴的夹角为，
则，
故，，
因为，
所以，
则点的坐标为.
4. 答案：
解析：过点作轴于点，作轴于点，设，则.所以向量的坐标为.
5. 答案：
（1）
（2）
（3）
6. 答案：设，，，
因为，，所以.
因为，，所以.
因为，，所以.
2第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
学习目标
1. 掌握用坐标表示平面向量的加、减运算；
2. 理解用终点和起点坐标求向量坐标的方法.
基础梳理
1. 已知，，
________________；
________________.
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__________.
2. 已知，，________________.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标.
随堂训练
1. 若向量,则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若向量,,则( )
A. B. C. D.
4. 在平行四边形中，为一条对角线，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示平面直角坐标系中，，则点D坐标为______________.
6. 已知点，向量，则向量 .
答案
基础梳理
1. ；；和（差）.
2. ；终点；起点.
随堂训练
1. 答案：A
解析：.故选A.
2. 答案：B
解析：∵向量，∴.故选B．
3. 答案：A
解析：因为，所以.因为，所以.故选A.
4. 答案：B
解析：∵，∴，∴.故选B.
5. 答案：
解析：设点D坐标为，则，
即解得
所以点D的坐标是.
6. 答案：
解析：设，因为,则有则有故，则.
2第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
掌握用坐标表示平面向量的数量积；
会用坐标表示两个平面向量的夹角；
能用坐标表示平面向量垂直的充要条件.
基础梳理
已知，，.
两个向量的数量积等于它们对应坐标的_______________.
若，则，.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么.
设，，则.
设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
随堂训练
若向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
已知，则与垂直的向量是（ ）
A. B.
C. D.
已知向量，则（ ）
A.6 B.5 C.1 D.-6
若，且，则x等于（ ）
A.3 B. C. D.-3
已知，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
已知向量，，且，则__________.
已知，则__________.
设向量.若向量，则__________.
已知向量，.
（1）求；
（2）若向量与垂直，求k的值.
答案
基础梳理
；乘积的和.
；；.
.
.
随堂训练
答案：D
解析：，所以，所以.故选D.
答案：C
解析：，C选项中，，∴与垂直.故选C.
答案：A
解析：由题意，则.故选A.
答案：C
解析：，∴.故选C.
答案：C
解析：由，，得，则，．故选C．
答案：8.
解析：向量，则.
答案：0
解析：，，
又因为，，
.
答案：-1
解析：因为，
所以，由得：，
所以，即.
答案：（1）因为向量，
，
.
（2），，
向量与垂直，
，
，
.
2第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
学习目标
1. 理解平面向量基本定理及其意义；
2. 会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
基础梳理
1. 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量，__________实数，使__________.
2. 基底：若__________，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个__________.
随堂训练
1. 在中，，，若分别在边上，且，.则向量表示（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，向量，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4. 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
5. 如图所示，向量可用向量表示为___________.
6. 中，D为重心，以，为一组基底，可表示___________.
7. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，试用基底表示和.
答案
基础梳理
1. 不共线；有且只有一对；.
2. 不共线；基底.
随堂训练
1. 答案：A
解析：如图所示，，
因为，所以.
所以.
所以.故选A.
2. 答案：C
解析：如图，.故选C.
3. 答案：B
解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故选B.
4. 答案：B
解析：①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线.由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意.故选B.
5. 答案：
解析：由图可知，.
6.答案：
解析：根据D是三角形重心，可得D是三角形中线BE的一个三等分点，即，由此结合平面向量的线性运算法则，可得，再根据E是AC中点化简整理，即可得到用，表示的式子.
7.解：，，
，
，
，
.
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