高一数学人教版A（2019）必修第二册教案：6.4.3（第三课时）应用举例 教学设计

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理（第三课时）
余弦定理、正弦定理应用举例
教学设计
教学目标
能够运用余弦定理、正弦定理的知识解决测量距离、高度、角度等实际问题。
了解余弦定理、正弦定理在实际生活中的应用。
通过实际问题的解决，提高知识的综合运用能力和应用意识。
教学重难点
教学重点
运用余弦定理、正弦定理解决测量距离、高度、角度等实际问题。
教学难点
余弦定理、正弦定理的实际应用。
教学过程
新课导入
我们已经学习了正弦定理、余弦定理的相关知识，那么正、余弦定理在生活中有哪些实际应用呢？
探索新知
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案。下面我们通过几道例题来说明这种情况。需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件。事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案。在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。学习课本P49-51例题。
课堂练习
1、据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
答案：A [如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则,,
∴.
由正弦定理知, ,
∴米.
]
2、一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西方向上,另一灯塔在船的南偏西方向上,则这艘船的速度是( )
A.5海里/时
B.海里/时
C.10海里/时
D.海里/时
答案：C [如图依题意有,,
∴,从而,
在中,求得,
∴这艘船的速度是(海里/时)
]
3、如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D [在中，，
由正弦定理得，，
在中，，故选：D.]
4、在一幢高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为,塔基的俯角为,那么这座塔吊的高是( )
A. B.
C. D.
答案：B [如图：,，；则,
，∴，
故选B。
]
5、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度＝______________m．
答案： [设此山高,则，
在△ABC中,∠BAC=30 ,∠CBA=105 ,∠BCA=45 ，AB=600.
根据正弦定理得，
解得(m)
故答案为：.]
6、江边有一炮台高,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为和,而且两条船与炮台底部连线成度角,则这两条船相距( )
A.
B.
C.
D.
答案：D [设炮台顶部为，两条船分别为炮台底部为可知
分别在和中，求得
在中，由余弦定理，得，解得故选]
7、如图,某人在塔的正东方向上的处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西的方向以每小时6千米的速度步行1分钟后到达处,在点处望见塔的底端在东北方向上.已知沿途塔的仰角的最大值为.
1.该人沿南偏西的方向走到仰角最大时,走了几分钟
2.求塔高.
答案：1.依题意,知在△中, ,米,
,
由正弦定理,
得
(米).
在中, ,
∵为定长,
∴当的长最小时, 取最大值,此时.
当时,在中, (米).
设该人沿南偏西的方向走到仰角最大时,走了分钟,
则 (分钟).
2.由1,知当取得最大值,此时.
在中, .
∴在中,
(米)
即所求塔高为米.
小结作业
小结：本节课学习了正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
作业：完成本节课课后习题。
板书设计
6.4.3 余弦定理、正弦定理（第三课时）
余弦定理、正弦定理应用举例
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