23.1 锐角三角函数 (4) 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
沪科版 九年级上册
23.1 锐角三角函数 (4)
学习目标:
　1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；
　2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有
关的简单计算．
学习重点：
根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关
的简单计算．
课件说明
A
B
C
　　　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
则 cos A = ， tanB = ．
2
2
1
2
3
3
复习旧知
三角函数
锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
30°
45°
60°
1
2
2
3
3
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
　　借助两块三角尺说明 30°， 45°，60°角的三角函数值．
练习： 计算:
(1) 3tan30° － tan45°＋ 2sin60°.
(1)原式=
＋
=
－1
－1
3×
3
3
2×
2
3
3
－1
＋
3
=2
3
解：
练习： 计算:
(2) － tan45°.
sin45°
cos45°
(2)原式=
2
2
÷
2
2
－1
=1－1=0
三角函数
锐角α 正弦sinα 余弦cosα
30°
45°
60°
1
2
2
3
2
2
2
2
2
3
1
2
从表中不难发现：
cos60°
sin30°=
cos45°
sin45°=
cos30°
sin60°=
从表中不难发现：
cos60°
sin30°=
cos45°
sin45°=
cos30°
sin60°=
30°，45°，60°这三个角的正弦值，
分别等于它们余角的余弦值.
分别等于它们余角的正弦值.
30°，45°，60°这三个角的余弦值，
这个规律，是否合适任意一个锐角呢？
学习新知
C
A
B
a
c
∵sinA=
=
cosA=
=
b
c
cosB
sinB
a
b
c
如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，
b
c
a
c
cosB，
∴sinA=
cosA=
sinB.
∵ ∠A＋ ∠B=90°，
∴ ∠B=90°－∠A.
cosB
∴sinA=
=cos(90°－∠ A)
=sin(90°－∠A)
cosA=
sinB
任意一个锐角的正弦值，
等于它的余角的余弦值.
任意一个锐角的余弦值，
等于它的余角的正弦值.
1.已知 ∠A与 ∠B都是锐角.
(1)把cos(90°－∠A)写成∠A的正弦；
(2)把sin(90°－∠B)写成∠B的余弦.
解：
(1) cos(90°－∠A)
=sinA
(2)sin(90°－∠B)=
cosB
练习巩固
例5 在Rt△ABC中，∠C=90°，
求cosB的值.
解：
=sinA
且sinA= ，
1
3
∴cosB
=cos(90°－∠A)
∵ ∠A＋∠B=90°，
=
1
3
∴ ∠B
=90°－∠A
例题解析
2. (1)已知：
求sinB的值.
解：
=cosA
cosA= ，
1
3
∴sinB
=sin(90°－∠ A)
=
1
3
且∠B=90° －∠A，
∵ ∠B
=90°－∠ A
学以致用
2. (2)已知：
sin22°=0.3746 ，
cos22°=0.9272 ，
求68°的正弦、余弦值.
∵ 22°＋68°=90°，
(2)
∴68°
=90°－22°
∴sin68°=
sin(90°－22°)
=cos22°
=0.9272 ，
cos68°=
cos(90°－22°)
=sin22°
=0.3746.
　　例 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∠BAC=30°，延长 CA 至 D 点，使 AD=AB．
求∠D，tan D．
D
A
C
B
∵AD=AB，
∴∠D=∠DBA.
∵∠D＋∠DBA=∠BAC=30°，
∴∠D=15°.
解:
∴2∠D=30°.
　　例 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∠BAC=30°，延长 CA 至 D 点，使 AD=AB．
求∠D，tan D．
D
A
C
B
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC.
∵AD=AB，
∴AD=2BC.
设BC=1，
∴AD=AB=2，
AC=
3
∴DC=AD＋AC
=2 ＋ .
3
∴tanD=
BC
DC
=
1
2＋
3
=
(2＋ )
3
(2－ )
3
(2－ )
3
=
4－3
(2－ )
3
=2－
3
例题解析
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC= ，AC= ，求∠A，∠B的度数．
21
7
解:
∵tanA=
BC
AC
=
7
21
=
1
3
=
3
3
∴ ∠A=30°，
∴ ∠B=90°－∠A=60°.
7
21
┌
B
C
A
∵tan30°=
3
3
练习巩固
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC= ，AC= ，求∠A，∠B的度数．
21
7
解:
∵tanB=
AC
BC
=
21
7
=
3
∴ ∠B=60°，
∴ ∠A=90°－∠B=30°.
7
21
┌
B
C
A
∵tan60°=
3
在矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，AB=3，BC=4，∠CBE=∠α. 求∠ α的三个三角函数值.
典型例析
A
B
C
D
E
α
∵ 四边形ABCD是矩形，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=90°.
∴ ∠ACB＋ ∠CAB=90°.
∴∠BEC=90°.
∴ ∠ACB＋ ∠CBE=90°.
∴ ∠CAB= ∠CBE
=∠α.
∵ AB=3，BC=4，
∴AC=5.
解:
A
B
C
D
E
α
∵ 四边形ABCD是矩形，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=90°.
∴ ∠ACB＋ ∠CAB=90°.
∴∠BEC=90°.
∴ ∠ACB＋ ∠CBE=90°.
∴ ∠CAB= ∠CBE
=∠α.
∵ AB=3，BC=4，
∴AC=5.
解:
∴ sin∠CAB =
=
4
5
BC
AC
cos∠CAB =
=
3
5
AB
AC
tanA=
=
4
3
BC
AB
∴ sinα =
4
5
cosα=
tanα=
3
5
4
3
　　如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是BC上
一点，∠CAD=∠B，tan∠DAB= ．
求∠tan B的值．
D
B
C
A
巩固提高
3
4
解:
过点D作DE⊥AD，DE交AB于点E，
E
1
2
∴ ∠1＋∠2=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠CAD＋∠2=90°.
∴ ∠1=∠CAD.
∵ ∠CAD=∠B，
∴ ∠1=∠B.
D
B
C
A
E
解:
过点D作DE⊥AD，DE交AB于点E，
∴ ∠1＋∠2=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠CAD＋∠2=90°.
∴ ∠1=∠CAD.
∵ ∠CAD=∠B，
∴ ∠1=∠B.
∴DE=BE.
在Rt△ADE中，
tan∠DAB=
DE
AD
∵ tan∠DAB=
3
4
设DE=3x，
则AD=4x，
∴AC=5x.
=
DE
AD
3
4
∴
∴AB=AE＋BE=5x＋3x=8x.
∵△CAD∽△CBA，
AC
BC
∴
=
AD
AB
=
4x
8x
=
1
2
AC
BC
∴
tan∠B=
1
2
=
今天作业
课本P123页第5、6 题
谢谢
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