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第二十四章 圆
24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）
教学设计
一、教学目标
1.理解切线长定义；掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题；掌握画三角形内切圆的方法，三角形内心的概念.
2.在折叠、发现、探究的过程中再次体现圆的轴对称美，从而培养学生的观察、分析、归纳能力；通过列方程解决问题，感受数与形的统一.
二、教学重难点
1. 教学重点
切线长定理及其运用
2. 教学难点
切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题
三、教学过程
（一）新课导入
提问导入（教师提问）
1.已知△ABC，作三个内角的角平分线，说说它们具有什么性质？
2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？
3.过圆上一点可以作圆的几条切线？过圆外一点呢？圆内一点呢？
学生动手画草图，得出从圆外一点可以作圆的两条切线
答案：
1.在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等.
2.学生口述：直线和圆的位置关系有三种：；
；.
切线的判定定理：经过半径的外单并且垂直于半径的直线是圆的切线..
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切线的半径.
3.过圆上一点只可以作一条切线，过圆外可以作两条，过圆内无切线.
（二）探索新知
切线长定义
通过上面的画图，我们可以知道，过⊙O外任一点P可以作两条切线，结合图形教师给出切线长的定义：我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理
探究：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
学生动手操作后，回答相等
教师点评：根据轴对称性质，我们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
提问：你能用语言来描述你的结论吗？
学生尝试总结，教师规范.从上面的操作我们可以得到：这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
提问：你能用我们所学的知识证明这一结论的正确性吗？
教师引导学生分析命题的题设和结论，转化为符号语言.
如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线.
求证：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
证明：连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA＝OB，OP＝OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
由此得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号语言：∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
三角形的内切圆
思考：下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使截下的圆与三角形的三边都相切？
提问1：假设符合条件的圆已经作出，那么和AB，AC相切的圆的圆心在哪里？
学生：由切线长定理知，圆心在∠BAC的平分线上.
提问2：和AC，BC相切的圆的圆心在哪里？
圆心在∠ACB的平分线上
提问3：和这三边都相切的圆的圆心在哪里？
两条角平分线的交点就是圆心
三角形的三条建平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.找出圆心就是三条角平分线的交点.
教师总结：
分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，圆I就是所求作的圆.
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
分析：根据切线长定理可以得到：AF=AE，BF=BD，CD=CE.如果设AF=x，那么其他线段就都可以用含x的式子来表示，然后利用线段之间的和差关系建立方程即可求出.
解：设AF＝x，则AE＝x，
CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.
解得x＝4
因此AF＝4，BD＝5，CE＝9
练习：
1.如图，四边形ABCD是的外切四边形，且，，则四边形ABCD的周长为___________.
【答案】50
【解析】四边形ABCD是的外切四边形，如图，设AB，BC，CD，AD边上的切点分别为E，F，G，H，，，，，，四边形ABCD的周长为.
2.的内切圆的半径为r，点D，E，F为切点.的周长为l，求的面积.
【答案】连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，如图所示.
则，，，，
.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.圆的切线长概念；
3.切线长定理；
4.三角形的内切圆及内心的概念
作业：
四、板书设计
24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）
一、切线长定义：
二、切线长定理
三、内切圆
例2
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第二十四章 圆
24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）
学案
一、学习目标
1.理解切线长定义
2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题
3.掌握画三角形内切圆的方法、三角形内心的概念
二、基础知识
回顾旧识
1.已知△ABC，作三个内角的角平分线，说说它们具有什么性质？
2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容是什么？
3.过圆上一点可以作圆的几条切线？过圆外一点呢？圆内一点呢？
探索新知
4.切线长的定义：
5.探究：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
6.你能用语言来描述你的结论吗？
7.你能用我们所学的知识证明这一结论的正确性吗？
8.切线长定理：
9.符号语言：
三角形的内切圆
思考：下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使截下的圆与三角形的三边都相切？
10.假设符合条件的圆已经作出，那么和AB，AC相切的圆的圆心在哪里？
11.和AC，BC相切的圆的圆心在哪里？
12.和这三边都相切的圆的圆心在哪里？
13.内切圆：
14.内心：
15.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
三、提升练习
1.如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为( )
A.32° B.52° C.64° D.72°
2.如图，PA，PB分别切于点A，B，，CD切于点E，分别交PA，PB于C，D两点，则的周长是( )
A.10 B.18 C.20 D.22
3.如图，是等边三角形ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则的度数是( )
A.65° B.60° C.58° D.50°
4.如图，已知等边三角形ABC的内切圆半径为3，则AB的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，的内切圆与边AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，，，则的面积为____________.
6.如图，四边形ABCD是的外切四边形，且，，则四边形ABCD的周长为___________.
7.的内切圆的半径为r，点D，E，F为切点.的周长为l，求的面积.
答案
基础知识
1.①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等.
2.直线和圆的位置关系有三种：；
；.
切线的判定定理：经过半径的外单并且垂直于半径的直线是圆的切线..
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切线的半径.
3.过圆上一点只可以作一条切线，过圆外可以作两条，过圆内无切线.
4.我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
5.根据轴对称性质，我们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
6.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
7.证明：连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA＝OB，OP＝OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
8.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
9.∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
10.由切线长定理知，圆心在∠BAC的平分线上.
11.圆心在∠ACB的平分线上
12.两条角平分线的交点就是圆心
13.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
14.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
15.解：设AF＝x，则AE＝x，
CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.
解得x＝4
因此AF＝4，BD＝5，CE＝9
提升练习
1.答案：B
解析：，PB是的切线，,,即，.
2.答案：C
解析：，PB是的切线，.又是的切线，，，的周长.
3.答案：B
解析：如图，连接OE，OF，则.是等边三角形，.在四边形BEOF中，，.
4.答案：C
解析：如图，过O点作交BC于点D，连接OB，则，.O是的内心，.在中，，，，，.故选C.
5.答案：12
解析：设.根据切线长定理，得，，.根据勾股定理，得.整理，得..
6.答案：50
解析：四边形ABCD是的外切四边形，如图，设AB，BC，CD，AD边上的切点分别为E，F，G，H，，，，，，四边形ABCD的周长为.
7.答案：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，如图所示.
则，，，，
.
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24.2.2直线和圆的位置关系
（第3课时）
第二十四章 圆
01
新课导入
新课导入
在同一个平面内，有一点P和⊙O，过点P能否作⊙O的切线？如果能，可以作几条切线？如果不能，说明理由.
新课导入
点P和⊙O的位置关系
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
新课导入
1. 点P在⊙O内
过点P 的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与⊙O相切.
新课导入
2. 点P在⊙O上
作法：
①连接OP；
②过P点作已知线段OP的垂线l，
直线l即为⊙O的切线.
作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
新课导入
目标图形
3. 点P在⊙O外
新课导入
3. 点P在⊙O外
作法：
连接OP,
①作线段OP的中点M；
②作以M为圆心，OM长为半径的⊙ M ,与⊙O交于A,B两点；
③作直线PA,PB，则直线PA,PB即
为⊙O的两条切线.
作图依据？
新课导入
作图依据：
①直径所对的圆周角是直角;
②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
③两点确定一条直线.
例1
点P在⊙O内，过P点，不存在圆的切线；
总结：
点P在⊙O上，过P点，可以作圆的一条切线；
点P在⊙O外，过P点，可以作圆的两条切线.
学习目标
1.理解切线长定义
2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题
2.掌握画三角形内切圆的方法、三角形内心的概念
02
探索新知
切线长定义
A
B
切线长
切线长
P
线段PA、PB就叫做 O的切线长.
即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
想一想：
线段PA、PB有什么关系？
O
切线长定义
请同学思考圆的切线与切线长的区别.
切线
切线长
切线是直线
切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离
无法度量
可以度量
切线长定理
探究：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？.
P
O
A
B
切线长定理
切线长定理
（1）图中的线段 PA = PB；
P
O
A
B
（2）∠APO=∠BPO.
通过几何画板演示，你发现了什么？
和同桌一起交流，你能用学过的知识证明这两个结论吗？
切线长定理
证明：
连接OA，OB.
PA和PB是⊙O的两条切线，
OA=OB,
OP=OP,
切线长定理
切线长定理：
---------（文字语言）
--------（图形语言）
∵PA和PB是⊙O的两条切线，A ，B为切点.
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号表示
切线长定理
圆外一点引圆的两条切线
线段相等
角相等
切线长定理：
三角形的内切圆
思考：如何在一块三角形的铁皮上面截下一块圆形的用料，并且使得截下来的圆与三角形的三边都相切？
三角形的内切圆
分析：
圆心到三边的距离相等，所以圆心是三角形三条角平分线的交点.
半径即圆心到三边的距离.
三角形的内切圆
作法：
①分别作∠B ，∠C的角平分线 BM，
CN, 角平分线BM、CN的交点记为I；
②过I点作ID⊥BC于点D；
③以I点为圆心，ID长为半径作⊙I.
则⊙I即为所求.
三角形的内切圆
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫
做三角形的内心
三角形的内切圆
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F. 若AB=9， BC=14，CA=13 .
求AF，BD，CE的长;
分析：根据切线长定理可以得到：AF=AE，BF=BD，CD=CE.如果设AF=x，那么其他线段就都可以用含x的式子来表示，然后利用线段之间的和差关系建立方程即可求出.
三角形的内切圆
解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AB，BC，CA都与⊙O相切.
由切线长定理，可得
AF=AE，BD=BF，CD=CE.
设AF=x，则 AE=x ,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，得（13-x）+（9-x）=14.
解得 x =4.
因此 AF =4，BD=5，CE=9.
三角形的内切圆
若已知△ABC的面积为 ，求△ABC内切圆的半径.
解：
三角形的内切圆
三角形的内切圆
AE=AF=AC-CF=b-r.
BD=BE=BC -CD=a-r.
AB=AE+BE =(b-r)＋(a-r).
c = b-r＋a-r.
其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.
解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆.
可证四边形CDOF是正方形.
三角形的内切圆
①三角形内切圆半径公式：
②特殊的直角三角形内切圆半径公式：
其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.
归纳：
三角形的内切圆
三角形的外接圆与三角形的内切圆，有什么区别呢？
图形 名称 性质 位置 角度关系
外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）.
三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等.即OA=OB=OC.
锐角三角形的外心在形内；
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在形外.
内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三内角平分线的交点）.
三角形内心到三角形的三边的距离相等.即ID=IE=IF.
三角形的内心一定在三角形内.
三角形的内切圆
“接”或“切”是说明多边形的顶点或边与圆的位置关系:
多边形的顶点都在圆上叫“接”,
多边形的边都与圆相切叫“切”.
03
练习
练习1
50
练习2
04
小结
总结
过一点能否作已知圆的切线
发现过圆外一点能引圆的两条切线
切线长定理的证明及三种语言表达
切线长定理在三角形中的应用
三角形和特殊的直角三角形的内切圆半径公式
在与三角形外接圆比较中加深对内切圆的理解
谢谢观看
XIEXIEGUANKAN
