苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．3.3　最大值与最小值(1)课时小练（有解析 ）

5．3.3　最大值与最小值(1)
一、 单项选择题
1. 函数y＝的最大值为(　　)
A. e－1 B. e C. e2 D. 10
2. 函数f(x)＝x3－x2在区间[1，3]上的最小值为(　　)
A. －2 B. 0 C. － D. －
3. 函数f(x)＝(1－x)ex有(　　)
A. 最大值为1 B. 最小值为1 C. 最大值为e D. 最小值为e
4. 函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)
A. π－1 B. －1 C. π D. π＋1
5. (2021·宜春上高二中月考)已知函数f(x)＝ax3－x，若?x∈R，f′(x)＋cosx≥0，则实数a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
6. (2022·河南名校联盟期末)已知函数f(x)＝kex(2x＋1)－2x，若?x0∈(0，＋∞)，使得f(x0)≤0成立，则实数k的最大值是(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 已知函数f(x)＝x3－4x＋2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的极大值为，极小值为－
B. 当x∈[3，4]时，函数f(x)的最大值为，最小值为－
C. 函数f(x)的单调减区间为[－2，2]
D. 曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝－4x＋2
8. (2021·江苏省外国语学校期中)已知函数f(x)＝(x＋1)ex，则下列说法中正确的有(　　)
A. 函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增
B. 函数f(x)的图象与x轴有两个交点
C. 当－D. 若方程f(x)＝a只有一个解，则a≥0
三、 填空题
9. 函数y＝xex的最小值是________．
10. 已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在区间[－2，2]上有最大值3，则函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值是________．
11. 函数f(x)＝xsinx＋cosx在区间上的最大值为________．
12. 已知函数f(x)＝ax3＋2x2－4x＋5，当x＝时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在区间[－3，1]上的最大值为________．
四、 解答题
13. (2022·南通海门期末)已知函数f(x)＝aex－x－1，a∈R(e为自然对数的底数)．
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 当a≥1时，求证：f(x)≥0.
14. (2021·保定唐县一中月考)已知函数f(x)＝.
(1) 求函数f(x)的极值和零点个数；
(2) 若f(x)参考答案与解析
1. A　解析：令y′＝＝0，得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以当x＝e时，函数取得极大值，也是最大值，所以ymax＝e－1.
2. D　解析：由题意，得f′(x)＝x2－2x.当x∈[1，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(2，3]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在区间[1，3]上的最小值为f(2)＝×23－22＝－.
3. A　解析：f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex，当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，所以函数 f(x) 在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝1.
4. C　解析：y′＝1－cosx，当x∈时，y′>0，则函数在区间上单调递增，所以当x＝π时，y取得最大值π－sinπ＝π.
5. D　解析：由函数f(x)＝ax3－x，得f′(x)＝3ax2－1，若?x∈R，f′(x)＋cosx≥0，即3ax2－1＋cosx≥0恒成立．令g(x)＝3ax2－1＋cosx，g′(x)＝6ax－sinx，当6a≥1时，若x<0，则g′(x)＝6ax－sinx≤x－sinx<0，若x>0，则g′(x)＝6ax－sinx≥x－sinx>0，所以当x＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝0，所以g(x)≥0成立，故当a≥时，?x∈R，f′(x)＋cosx≥0恒成立．
6. D　解析：由题设，得 x0∈(0，＋∞)使k≤＝成立．令g(x)＝且x>0，则g′(x)＝－，所以当00，则g(x)单调递增；当x>时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，所以g(x)≤g＝，故k≤.
7. ACD　解析：由f′(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2，所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，所以当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋2＝；当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝×23－4×2＋2＝－，故A，C正确；当x∈[3，4]时，f(x)为单调增函数，所以f(x)min＝f(3)＝×33－4×3＋2＝－1，f(x)max＝f(4)＝×43－4×4＋2＝，故B错误；因为点(0，2)在曲线f(x)的图象上，f′(0)＝－4，所以曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝－4x＋2，故D正确．故选ACD.
8. AC　解析：由f(x)＝(x＋1)ex可知，f′(x)＝(x＋2)ex，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故A正确；f(x)min＝f(－2)＝－e－2<0，f(0)＝1>0.当x<－2时，f(x)<0，因此f(x)只在(－2，0)上有一个零点，它与x轴只有一个交点，故B不正确；由上面讨论知当x<－2时，f(x)∈(－e－2，0)，当x∈(－2，0)时，f(x)∈(－e－2，1)，作出y＝f(x)图象和直线y＝a，知当－9. －　解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，则x＝－1.因为当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0，所以当x＝－1时，ymin＝－.
10. －37　解析：由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)>0，得x<0或x>2，所以函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也是最大值，则f(0)＝m＝3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5，故最小值是－37.
11. 　解析：由题意，得f′(x)＝xcosx，当x∈时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x)max＝f＝sin＋cos＝.
12. 13　解析：因为f′(x)＝3ax2＋4x－4，当x＝时，函数f(x)有极值，所以f′＝a－＝0，解得a＝1，所以f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，所以当x∈(－3，－2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13.又f(1)＝4，所以f(x)在区间[－3，1]上的最大值为13.
13. (1) 由题意得f′(x)＝aex－1，
①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，此时函数f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)；
②当a>0时，令f′(x)>0，得x>－lna，令f′(x)<0，得x<－lna，此时函数f(x)的单调增区间为(－lna，＋∞)，单调减区间为(－∞，－lna)．
综上，当a≤0时，函数f(x)的单调减区间为R，无单调增区间；当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(－ln a，＋∞)，单调减区间为(－∞，－ln a)．
(2) 由(1)得，当a≥1时，函数f(x)在x＝－lna处取得极小值，也是最小值，最小值为f(－lna)＝1＋lna－1＝lna.
因为a≥1，所以lna≥0，即函数f(x)的最小值f(－lna)≥0，所以f(x)≥0.
14. (1) 函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以函数f(x)在x＝e时取得极大值f(e)＝，函数f(x)没有极小值．
因为f(1)＝0，当0当x>1时f(x)>0，
所以f(x)只有一个零点．
(2) 要使f(x)恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝－.
当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)在x＝处取得极大值也是最大值，g＝.
要使k>g(x)恒成立，则k>，
故实数k的取值范围是.