苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．3.3　最大值与最小值(2)课时小练（有解析 ）

5．3.3　最大值与最小值(2)
一、 单项选择题
1. 某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A. 8 B. C. －1 D. －8
2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为(　　)
A. B. 100 C. 20 D.
3. 用长为30的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为3∶2，则该长方体的最大体积是(　　)
A. 24 B. 15 C. 12 D. 6
4. (2021·珠海艺术高级中学期中)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　)
A. B. C. D. 2
5. (2021·肇庆高要区第二中学月考)在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为(　　)
A. R B. R C. R D. R
6. 某个体户积极响应国家地摊经济的号召，计划在市政府规划的摊位同时销售A，B两种小商品．当投资A，B小商品均为x(x≥0)千元时，可获得的收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝5ln(2x＋1)，若该个体户共投入5千元，为使总收益最大，则A商品需投入(　　)
A. 4千元 B. 3千元 C. 2千元 D. 1千元
二、 多项选择题
7. 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则下列说法中正确的是(　　)
A. 长方体的体积V(x)＝m3
B. 长方体的最大体积为3 m3
C. 当长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D. 当长方体的体积最大时，高为1.5 m
8. 如图是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为10π的半球，下面大圆刚好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的空间图形内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为(　　)
A. 10π B. 18π
C. 30π D. 40π
三、 填空题
9. 若一物体的运动方程如下：S＝则此物体在t＝3时的瞬时速度是________．
10. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
11. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
12. 一个内接于半径为R的半圆的矩形，当其周长最大时，矩形的两边长分别为________，________．
四、 解答题
13. 某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比．已知当速度为10 km/h时，燃料费为10元/h，其他与速度无关的费用每小时180元．
(1) 求轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？
(2) 若轮船的速度不超过20 km/h，求每千米航程的最低成本．
14. 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，该地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是抛物线y＝x2的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．
(1) 求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2) 求按上述要求隔离出的△BEF面积S的最大值．
参考答案与解析
1. C　解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2. A　解析：设圆锥的高为x(00；当x∈时，V′(x)<0，所以当x＝时，V(x)取最大值，即体积最大时，圆锥的高为.
3. B　解析：设该长方体的宽是x，则长是，高是，00；当24. C　解析：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，则S＝x2＋2hx，所以h＝－x，所以窗户的周长L＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋x，所以L′＝2＋－，由L′＝0，得x＝，当x∈时，L′<0，即L单调递减；当x∈时，L′>0，即L单调递增，所以当x＝时，L取最小值．
5. A　解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，如图，则OA＝R，OG＝，GA＝r，故＋r2＝R2，则h＝2，圆柱体积为V＝πr2·h＝2πr2.设＝t，则r2＝R2－t2，所以V＝2πt(R2－t2)，故V′＝－6πt2＋2πR2＝－6π·，当t2＝时，V′＝0，当t2>时，V′<0，当t2<时，V′>0，所以当t2＝时，圆柱体积取得最大值，此时h＝2t＝2＝R.
6. B　解析：设B商品的投入资金为x千元(0≤x≤5)，则A商品的投入资金为(5－x)千元，记获得的总收益为S(x)千元，由题意可得S(x)＝2(5－x)＋5ln(2x＋1)＝5ln(2x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)，故S′(x)＝－2，当0≤x≤2时，S′(x)≥0，函数S(x)在区间[0，2]上单调递增；当27. BCD　解析：因为长方体的宽为x m，所以长为2x m，高为m，故长方体的体积为V(x)＝2x2＝9x2－6x3，故A错误；V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当00；当18. ABC　解析：设上部分的半球半径为R，可得πR3＝10π，解得R＝.设小圆锥的底面半径为r，小圆锥底面中心到球心距离为h，则r2＋h2＝R2＝15，小圆锥体积V＝πr2(h＋6)＝π·(15－h2)(h＋6)(09. 0　解析：当t≥3时，由S′＝6(t－3)，得S′(3)＝0.
10. 9　解析：由y′＝－x2＋81＝0，得x1＝－9(舍去)，x2＝9，所以当x∈(0，9)时，y′>0，函数y为增函数；当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数y为减函数，所以当x＝9时，函数取最大值．
11. 3　解析：设圆柱形无盖水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，则S′＝2πr－.令S′＝0，解得r＝3.当03时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形无盖水桶的表面积最小，即用料最省．
12. R　R 　解析：设矩形中与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边的长为2，则周长l＝2x＋4(00；当R13. (1) 设燃料费为u元/h，速度为v km/h，
则u＝kv3(v>0)．
由10＝k×103，得k＝.
每千米航程成本y＝＝v2＋(v>0)，
则y′＝.
令y′＝0，得v＝10，
所以当0当v>10时，y′>0，函数单调递增，
所以当速度为10 km/h时，每千米航程的成本最低．
(2) 由(1)知，函数y＝v2＋在区间(0，20]上单调递减，
所以当v＝20 km/h时，
ymin＝×202＋＝13(元)，
所以当轮船的速度不超过20 km/h时，每千米航程的最低成本为13元．
14. (1) 依题意，得点P(t，t2)．
因为y＝x2，所以y′＝2x，则kEF＝2t，
所以在点P处的切线EF的方程为y－t2＝2t(x－t)，即y＝2tx－t2.
令y＝0，得点E；
令x＝2，得点F(2，4t－t2)，
所以S＝(4t－t2)＝(t3－8t2＋16t)，定义域为(0，2]．
(2) S′＝(3t2－16t＋16)＝(3t－4)(t－4)，
当00；当所以S在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当t＝时，Smax＝.