苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用 复习 课时小练（有解析 ）

第5章　导数及其应用
复 习
一、 单项选择题
1. (2022·牡丹江三中期末)函数f(x)＝2x－lnx的单调减区间为(　　)
A. B. C. D. (－∞，2)
2. 若曲线y＝x2＋ax在点(1，a＋1)处的切线与直线y＝7x平行，则a的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知函数f(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是　(　　)
A. (－∞，5] B. (－∞，5) C. D. (－∞，3]
4. 函数f(x)＝＋cosx，x∈的最大值为(　　)
A. B. ＋ C. ＋ D.
5. (2021·河池八校联考)定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)<3恒成立，且f(1)＝3，则不等式f(x)<4x－1的解集为(　　)
A. (－∞，0) B. (0，＋∞) C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
6. (2021·商洛洛南中学月考)已知函数f(x)＝a－x2与g(x)＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. [1，e2－2] D. [e2－2，＋∞)
二、 多项选择题
7. (2021·佛山顺德区第一中学月考)已知函数f(x)＝cosx＋e|x|(x∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的图象关于y轴对称
B. 函数f(x)在区间(－π，π)上单调递增
C. 函数f(x)的最小值为2，无最大值
D. 不等式f(1－2x)－f(x)<0的解集为
8. (2021·唐县第一中学期中)下列关于函数f(x)＝＋lnx的说法中，正确的是(　　)
A. f(1)是f(x)的极大值
B. 函数y＝f(x)－x有且只有1个零点
C. f(x)在(－∞，1)上单调递减
D. 设g(x)＝xf(x)，则g三、 填空题
9. 若函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则a的值为________．
10. (2022·河南名校联盟期末)已知函数f(x)＝2x·ex－msinx的图象在x＝0处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则实数m＝________．
11. 已知函数f(x)＝ex－1f′(1)＋x2－xf(0)，则f(x)在区间[－1，1]上的最小值为________．
12. 函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则实数a的范围是______________．
四、 解答题
13. 已知函数f(x)＝(x＋a)ex，求：
(1) 函数f(x)的单调区间；
(2) 函数f(x)在区间[0，4]上的最小值．
14. (2021·西安高新一中月考)已知函数f(x)＝lnx－.
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 设x0满足f(x0)＝0，证明：曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．
参考答案与解析
1. B　解析：因为f(x)＝2x－lnx，所以f′(x)＝2－＝，当02. C　解析：因为y′＝2x＋a，所以2＋a＝7，解得a＝5，经检验，符合题意．
3. A　解析：由题意，得f′(x)＝9x2－2ax＋1≥0在区间[1，2]上恒成立，则2a≤＝10，所以a≤5.
4. B　解析：f′(x)＝－sinx，令f′(x)＝0，得x＝，当0≤x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当＜x≤时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝时，f(x)取得极大值，也是最大值，即f＝＋.
5. C　解析：设g(x)＝f(x)－3x，则g′(x)＝f′(x)－3.又由f′(x)<3，则g′(x)<0，则g(x)在R上为减函数．又由f(1)＝3，则g(1)＝f(1)－3＝0，则g(x)过点(1，0)．由f(x)<4x－1得f(x)－3x6. C　解析：由题意得a－x2＋2lnx＝0在区间上有解，即a＝x2－2lnx在区间上有解．设h(x)＝x2－2lnx，h′(x)＝2x－＝，当0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1.又h＝＋2，h(e)＝e2－2>＋2，所以 h(x)max＝e2－2，所以a的范围是[1，e2－2]．
7. ACD　解析：函数f(－x)＝e|－x|＋cos(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；当x≥0时，f(x)＝ex＋cosx，则f′(x)＝ex－sinx>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，而f(x)为偶函数，则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，故B错误；因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，f(x)min＝f(0)＝cos0＋e0＝2，无最大值，故C正确；不等式f(1－2x)－f(x)<0，即f(2x－1)8. BD　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，可知C错误；对于A，f′(x)＝－＋＝，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值f(1)＝1，故A错误；对于B，y＝f(x)－x＝＋lnx－x，其定义域为(0，＋∞)，y′＝－＋－1＝＝<0，所以函数y＝f(x)－x在(0，＋∞)上单调递减．又当x＝1时，其函数值为0，所以函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；对于D，g(x)＝xf(x)＝1＋xlnx，其定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)＝0，得x＝，当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)在上单调递减；当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)在上单调递增，所以当x＝时，函数g(x)取得极小值g，也是最小值，所以g9. 3　解析：由题意，得f′(x)＝－3x2＋2ax.因为函数f(x)在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，所以－3×4＋2a×2＝0，解得a＝3.
10. －1　解析：f(x)＝2x·ex－msinx的定义域为R，则f′(x)＝2ex＋2x·ex－mcosx，则函数在x＝0处的切线斜率为k1＝f′(0)＝2－m.又直线x＋3y＋1＝0的斜率k2＝－，由切线和直线垂直，得(2－m)×＝－1，解得m＝－1.
11. 1　解析：因为f(x)＝ex－1f′(1)＋x2－xf(0)，所以f(0)＝.又f′(x)＝f′(1)ex－1＋x－f(0)，令x＝1，由f′(1)＝f′(1)＋1－f(0)，得f(0)＝1，所以f(0)＝＝1，则f′(1)＝e，故f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋x－1.令f′(x)＝0，得x＝0，所以当00；当－1≤x<0时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，0)上单调递减，在区间(0，1]上单调递增，所以函数f(x)在区间[－1，1]上的最小值为f(0)＝1.
12. (－∞，－1)∪(2，＋∞)　解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，要使函数f(x)有极大值又有极小值，则需f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
13. (1) f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex.
由f′(x)>0，解得x>－a－1；
由f′(x)<0，解得x<－a－1，
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)，单调增区间为(－a－1，＋∞)．
(2) ①当－a－1≥4，即a≤－5时，f(x)在区间[0，4]上单调递减，所以f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4；
②当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在区间[0，4]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝a；
③当－5f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1＝－.
综上，当a≤－5时，f(x)min＝(a＋4)e4；当a≥－1时，f(x)min＝a；当－514. (1) 函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝.
因为函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，
所以f′(x)>0恒成立，
因此函数f(x)的单调增区间是(0，1)和(1，＋∞)，无减区间．
(2) 由f(x0)＝lnx0－＝0，得lnx0＝.
由y＝lnx，得y′＝，所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线l的斜率k＝，
故曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线l的方程为y－lnx0＝(x－x0)．
又lnx0＝，所以l的方程为y＝＋，它在纵轴的截距为.
设曲线y＝ex的切点为B(x1，ex1)，
令曲线y＝ex在B(x1，ex1)处的切线为l′.
由y＝ex，得y′＝ex，
所以在点B(x1，ex1)处的切线l′的斜率为ex1，
因此切线l′的方程为y＝ex1x＋ex1(1－x1)，
当切线l′的斜率k1＝ex1与直线l的斜率k＝相等时，即ex1＝，则x1＝ln＝－lnx0，
切线l′在纵轴上的截距为b1＝ex1(1－x1)＝e－ln x0(1＋ln x0)＝(1＋lnx0)．
而lnx0＝，所以b1＝(1＋)＝，
即直线l，l′的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线l，l′重合，
故曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．