第十八章 勾股定理
18．1勾股定理（1）
教学目标
1． 经历探索和验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。
2． 了解利用拼图难勾股定理的方法，并利用两边求直角三角形另一边的长。
3． 对比介绍我国和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的情感，激励学生发奋学习。
教学重点：
经历探索和难勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形另一边的长。
教学难点：
拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形另一边的长。
教学准备：用硬纸剪2个不等边长的正方形，
教学方法：实验探究法，验证法。
教学过程：
一 分设情境，导入 新课
观察课本P72的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
二 实验操作探求新知
1，引导学生观察第三季度2页图18.1-1 思考
（1） 你会什么方法求出图形中三个正方形的面积？
（2） 以等腰直角三角形两真角边家为边长的小正方形的面积和以斜边为连长的大正方形的面积之间有什么关系？
归纳：等腰直角三角形之间的特殊关系（P73）
2，组织学生小组合作学习思考：如果是其他一般的直角三角形，它的三边之间是否也具有这种特殊的关系呢？
（1） 计算正方形的面积。
（2） 探究A+B与C，A+B与C的关系。
（3） 结果：对于一般的以整数为连长的直角三角形，也有两直角边的平方和等于斜边的平方。
三 归纳验证，定理命名
1， 猜想：命题1（课本73页）
2， 验证命题1 （介绍古人赵爽的证法）：小组合作探究：利用学具拼一拼，摆一摆，体验古人的证法。
3， 介绍“定理”的概念，并结合以前具体例子对定理，公理的概念加以说明。
4， 命名“勾股定理”，介绍“勾，股，弦”的含义。进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形。
5， 介绍古今中外对勾股定理的研究，进行爱国主义的教育。
二 解析 应用与拓展
1， 求下图中字母A，所代表的正方形的面积。
让学生再一次体验数形结合思想。
2， 求出下图中直角三角形中未知边的长度。
四 小结
本节课你学到了什么数学知识，你了解了勾股定理的发现和验证的方法了吗？
五 作业
1， 课本第77页习题18。1第1题，第78页第2 题。
2， 阅读课本相关内容。18.2勾股定理的逆定理（3）
教学目标
1、 进一步理解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理解决实际问题。
2、 培养学生实际问题的能力，提高数学应用的意识。
教学重点与难点
实际问题的数学解法
教学方法：合作探究法
教学过程：
1、 复习旧知，引入课题
1、描述勾股定理及其逆定理。
2、你能用它们解决实际问题吗
3、提出本节课的任务
2、 合作探究，形成技能
出示例2
远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向舴，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？
分析：我们可以画出图，由图来分析。
（1） 你能根据题意画出相关图形吗，
（2） 生尝试画出，师板演画出。
（1） 把实际问题转化成数学问题，分析已知条件，寻求解决实际问题的策略。
（2） 学生尝试解题，合作探究，师深入指导。
补充例题： 已知：如图, DA⊥AB于A, 若AD=3, AB=4, CB=12, CD=13．求证：△DBC是直角三角形．
同桌合作探究，怎样证明△DBC是直角三角形。
3、 巩固练习
课本P84练习第3题
4、 小结
通过这节课，你有什么收获？
5、 作业
完成P85习题18.2第5题
补充练习：
1、 如图，已知CD⊥AB于D，且有AC＝AD×AB，求证：ACB为Rt△
2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=b，BC=a，AB=c，CD=h.
求证：以c+h，a+b和h为边的三角形是直角三角形.
分析：(1)需用比较两数的差或两数的平方来确定三边中最大的量是C+h，也可以用几何法来说明.
(2)利用勾股定理及ab=ch关系来说明(a+b)2+h2=(c+h)2
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118.1勾股定理（2）
教学目标
1， 通用自己的评议信得过勾股定理的内容，能运用勾股定理解决简单的实际问题。
2， 使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增强用数学知识解决问题的经验和感受。
3， 在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯及运用数学的能力。
教学重点
运用勾股定理解决简单的实际问题
教学难点
勾股定理的应用
教学方法：探究法
教学过程
一、创设情境，导入新课
1、动手实践，活动导入。
同桌探究锐角三角形、钝角三角形的三边是否满足勾股定理？
（在方格纸上画出一个锐角三角形和一个钝角三角形，再分别在其三边画出以其长度为边长的正方形，看是否满足a2+b2=c2）
总结：锐角三角形、钝角三角形的三边abc不满足勾股定理，因此勾股定理是直角三角形所特有的性质。
二、探求新知，建立模型
1、实际应用举例
（1） 探究P74“探究1”
采用合作探究的教学方式组织教学，先让学生根据生活经验，说说木板通常是怎么进门的？然后组织讨论，通过讨论达成共识，小组交流汇报。
实际问题 数学问题
求AC勾股定理
木板能否进门？比较木板宽与AC的长度AC大于2.2能进，反之不能进
讲述“截杆入城”的故事，提高数学的趣味性。
有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。
你们想一想，这是最好的办法吗？
（2）如下图，某人欲横渡一条江，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B有200m结果他在水中实际游了520m，求这条江的宽度。
（2） 选择其它学生熟悉的例子，让学生在应用研究中深化对勾股定理的理解。
2、数学应用举例（已知直角三角形任两边求第三边）
在Rt三角形ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。
（1） BC=20，AC=15，求AB。
（2） a=40，c=41，求b。
（3） b=6 ，c=8，求a
生练习，集体讲评，注意要提醒学生要画出图形。
三、拓展应用，巩固提高
1、 课本第76页练习第1题。
2、 课本第76页练习第2题
师巡视，小组订正。
四、回顾与反思
这节课你又学到了什么，你掌握了什么知识，学会了什么学习方法，学生自主小结，师补充。
五、作业设计
1， 课本P88习题18。1第3、4、5题。
2， 补充题
（1） 课本P88复习题目8第2，8题
（2） 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c且a∶b=3∶4,c=15,求b.
3、 阅读课本相关内容。18.2 勾股定理的逆定理（2）
教学目标
进一步经历探究并证明勾股定理的逆定理的过程，理解勾股定理的逆定理。了解互逆合理的概念培养学生严谨的学习态度。
教学重点
证明勾股定理的逆定理
教学难点
逆定理证明过程
教学教学：探究法
教学过程:
1、 复习提问:
什么是勾股定理？
引入探究
上节课的猜想: 命题2，如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。
这个是勾股定理的逆定理，这个定理是真命题还是假命题呢？
2、 探究新课：
证明：如果三角形的三边为a、b、C有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图2，△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b并且a2+b2=c2．
求证：∠C=90°
证：作△A′B′C′使∠C′=90′，B′C′=a，C′A′=b，
∴A′B′2=a2+b2(勾股定理)
∵c2=a2+b2，∴c2=A′B′2，
c=A′B′(A′B′＞0)
在△ABC和△A′B′C′中
BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=C=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∠C=∠C′=90°
定理用法：(1)∵AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°(勾股定理的逆定理)
试试看：单选题:1. 一个三角形的三边BC、AC、AB有如下的关系BC2=AB2+AC2, 则结论正确的是 [ ]
A.∠A是B.∠C C.∠B是 D.不能确定
(2)变形使用:若△ABC中，a2=c2-b2或b2=c2-a2，也能得到△ABC为直角三角形，其中最大边所对的角是直角.
(二)应用举例
(1)已知三角形的三边长，判断它是否是直角三角形的方法.
①比大小判断三角形三条边中最大边(c)；
②计算并比较c2与a2+b2的大小；
③作判断：当c2=a2+b2时，三角形为直角三角形；c2≠a2+b2时，它不为直角三角形
判定三边分别满足下列关系的三角形是否为直角三角形.
(1)a=4，b=5，c=6；
(3)a=6，b=9，c=12；
例1 已知：△ABC中三条边长为a、b、c，a=n2-1,b=2n，c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°.
提问学生本题需证出什么来？——由学生回答需证出a2+b2=c2.写出证明过程.
证明：a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1
∴a2+b2=c2,∴∠C=90°(勾股定理的逆定理)
例2 如图3，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.
分析：连结对角线分割四边形以及综合使用勾股定理和逆定理
例3(选用)如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=b，BC=a，AB=c，CD=h.
求证：以c+h，a+b和h为边的三角形是直角三角形.
分析：(1)需用比较两数的差或两数的平方来确定三边中最大的量是C+h，也可以用几何法来说明.
(2)利用勾股定理及ab=ch关系来说明(a+b)2+h2=(c+h)2
三、小结
今天学习了勾股定理的逆定理，学习了几种证直角的方法.
四、作业
1.判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a=7，b＝24，c＝25.
(2)18.1勾股定理（4）
教学目标
1、 掌握勾股定理，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想。
2、 通过学生初中操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决问题的能力。
3、 体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值。
教学重点
运用勾股定理解决数学和实际问题。
教学难点
勾股定理的应用。
教学方法：探究法，
教学过程
1、 创设，提出问题
出示数学深入海螺图与数学海螺图，想一想数学海螺图是怎么画出来的？是依据什么数学知识来画的？与同桌交流。
2、 探索分析，解决问题
1、通过观察、讨论发现：画图依据勾股定理。
（先构造出边长为1的等腰直角三角形，并以前一个三角形的斜边和长度为1的线段为直角边向外画直角三角形，这样就可以画出长度为 的线段
2、我们将最初的等腰直角三角形画在数轴上，你能有什么新的发现？
学生尝试画图，老师巡视指导，参与讨论。
（可以在数轴上画出表示的点，参照画“数学贝壳”的方法，可以在数轴上画出表(n为正整数)的点
你能找出 、 、 、 ……在数轴上的简便画法吗？学生小组讨论，发现：
（）2＝12＋22 （ ）2=22+3 2
（）2=12+42 ……
可以构造直角三角形来画图。（教师板演在数轴上画出相应的点的画图过程。）
巩固新知，反馈调控
画一画：课本第77页练习第1题。
3、 深入探究，提出问题
问题：如右图所示，有一个圆柱， 它的高12cm,底面半径3cm，圆柱 下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程
是多少？（∏的值取3）
学生合作探究分组讨论交流，寻找最佳路线。
求最短路线，实质上是解决什么数学问题？
五、小结
1、 直角三角形的边角之间分别存在着什么样的关系？
2、 通过本节课的学习你对勾股定理有了哪些更深刻的认识？用语言表述出来。
六、作业
课本第78页18.1第6、12题，课本第89页复习题第7、8题。18.1 勾股定理（3）
教学目标
1、 能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题。
2、 通过例题的分析与解决问题，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。
3、 在勾股定理建模过程中，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。
4、 在数学学习过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点
运用勾股定理解决实际问题
教学难点
勾股定理的灵活运用。
教学方法
合作探究， 讲练结合
教学过程：
1、 设情境，提出问题
前面我们结合实际问题，讨论了勾股定理的简单运用，本节课我们继续探究如何用勾股定理解决实际问题。
呈示课本P75“探究2”
2、 探索分析，解决问题
组织学生思考、讨论：
（1） 根据生活经验，梯子底端B外移多少必须知道哪两个量？
（2） 在梯子滑动的过程中谁是常量，谁是变量？
引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一个直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。
引导学生探寻钥匙思路，提高分析问题的能力，这是完成数学建军模的关键。
师深入讨论，帮助有困难的同学。
学生合作完成课本P75填空，并注意近似值的计算要求。
练一练：
完成课本P76练习第1、2两题练习。集体订正。
3、 发展探索，比较分析
问题1：
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高度为3m,消防队员取来6.5m长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是2.5ｍ，请问消防队员能否进入三楼灭火？
组织学生讨论，认识到积累生活经验的重要性。
问题2
如右图，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD ┴ AB，垂足为D，若∠B=30°，AC=6，求高CD和ΔABC的面积。
师生共同分析解答。
4、 课堂练习，反馈调控
如果等腰三角形的边长是a，你能用含a的代数式来表示高AD的长和这个三角形的面积吗？
引导学生得出几个基本图形中的常用结论
5、 小结
本节课你有什么收获？
6、 作业
完成P78习题18.1第7、8、9题。
阅读课本相关的内容18.2 勾股定理的逆定理（1）
教学目标
1、 在中理解古埃及人得到直角的方法，经历如何得到一个直角三角形的过程，体会命题2与命题1的互逆关系。
2、 初步了解互逆命题的概念及内涵。能积极地参与探究活动，并与他人合作。
教学重点：
探究如何得到一个直角三角形
教学难点：
学生通过画三角形进行探究的活动。
教学方法：
探究法，
教学过程
1、 创设情境，提出问题
讲述古埃及人用如下的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
提问：（1）第4个结处的角是什么角？
（1） 在其他结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？
（2） 这其中包含了什么数学道理？
提出本课时的学习任务。
2、 探索结论
1、 生尝试用古人的方法，用打结的方法得到直角。试试看吧
2、 不完全模仿，能得到直角吗，若可以改变技术引进的个数，图钉钉在其他结点处等
初步归纳发现的结果
如果围成三角形的三边分别是3、4、5，那么围成的三角形是直角三角形。（若三边是2、5、5是直角三角形吗）
与勾股定理类似，3、4、5之间存在的关系，2、5、5之间不存在类似关系。
3、 通过画三角形，进一步探究
下面几组数分别是一个三角形的三边长a,b,c(单位：cm)
2.5、6、6.5， 4、7.5、8.5、 6、8、10
各组数能满足吗
分别以每组数为边长试作三角形，看看是不是直角三角形。
4、 提出猜想
根据以上的例子，你能提出一个数学命题吗？
生讨论，交流
猜想：命题2，如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。
5、 原命题与逆命题
观察讨论，命题2与命题1有什么关系，
（两个命题的题设与结论刚好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把第一个命题叫原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。）
请你举例：小组举例，讨论
想一想如果原命题正确，那么逆命题也正确吗？
3、 巩固练习
课本第84练习第1 ，2题。
4、 小结
本节课你又学到了什么
五．作业
课本第84页习题18.2第1，2题。
补充练习
1、在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，试求此直角三角形的周长。
3、 某个三角形的三边长分别是8，15，17，你认为这个三角形是什么形状的三角形？你能求出这个三角形最长边上的高吗，试试吧18.2 勾股定理的逆定理（1）
教学目标
1、 在中理解古埃及人得到直角的方法，经历如何得到一个直角三角形的过程，体会命题2与命题1的互逆关系。
2、 初步了解互逆命题的概念及内涵。能积极地参与探究活动，并与他人合作。
教学重点：
探究如何得到一个直角三角形
教学难点：
学生通过画三角形进行探究的活动。
教学方法：
探究法，
教学过程
1、 创设情境，提出问题
讲述古埃及人用如下的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
提问：（1）第4个结处的角是什么角？
（1） 在其他结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？
（2） 这其中包含了什么数学道理？
提出本课时的学习任务。
2、 探索结论
1、 生尝试用古人的方法，用打结的方法得到直角。试试看吧
2、 不完全模仿，能得到直角吗，若可以改变技术引进的个数，图钉钉在其他结点处等
初步归纳发现的结果
如果围成三角形的三边分别是3、4、5，那么围成的三角形是直角三角形。（若三边是2、5、5是直角三角形吗）
与勾股定理类似，3、4、5之间存在的关系，2、5、5之间不存在类似关系。
3、 通过画三角形，进一步探究
下面几组数分别是一个三角形的三边长a,b,c(单位：cm)
2.5、6、6.5， 4、7.5、8.5、 6、8、10
各组数能满足吗
分别以每组数为边长试作三角形，看看是不是直角三角形。
4、 提出猜想
根据以上的例子，你能提出一个数学命题吗？
生讨论，交流
猜想：命题2，如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。
5、 原命题与逆命题
观察讨论，命题2与命题1有什么关系，
（两个命题的题设与结论刚好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把第一个命题叫原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。）
请你举例：小组举例，讨论
想一想如果原命题正确，那么逆命题也正确吗？
3、 巩固练习
课本第84练习第1 ，2题。
4、 小结
本节课你又学到了什么
五．作业
课本第84页习题18.2第1，2题。
补充练习
1、在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，试求此直角三角形的周长。
3、 某个三角形的三边长分别是8，15，17，你认为这个三角形是什么形状的三角形？你能求出这个三角形最长边上的高吗，试试吧
