高中数学必修第一册人教A版（2019）《不等式的概念和大小比较》名师课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
复习引入
日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：
长、短
大、小
轻、重
高、矮
请同学们举几个与不等关系相关的生活实例
人教A版同步教材名师课件
不等式的概念和大小比较
学习目标
学 习 目 标 核心素养
通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用 数学建模
掌握比较法的解题步骤 数学运算
理解不等式的性质及证明 逻辑推理
课程目标
1.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；
2.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；
3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；
数学学科素养
1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；
2.逻辑推理：作差法的原理；
3.数学运算：用作差法比较大小；
4.直观想象：在几何图形中发现不等式；
5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题。
学习目标
探究新知
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等，类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示.
①、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
0问题1
②、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：
________
④、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD③、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
设△ABC的三条边为a，b，c，则a-b>c，a-b探究新知
问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元.于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为20.求出不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.
探究新知
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
已知对于任意两个实数a、b的大小可以比较，那么：
a-b＞0 a＞b;
a-b＝0 a＝b
a-b＜0 a＜b;
探究新知
典例讲解
解析
例1、某中学高二年级某班一个户外小组搞野炊活动，其中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每千克的单价分别为2元和3元．根据需要，A蔬菜至少要买6 kg，B蔬菜至少要买4 kg，而且购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．写出满足上述所有不等关系的不等式．
设活动中A蔬菜购买了x kg，B蔬菜购买了y kg，则
方法归纳
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路:
①读懂题意，找准不等式所联系的量．
②用适当的不等号连接．
③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示．
(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
成分 药片　　 阿司匹林(mg) 小苏打(mg) 可待因(mg)
A(1片) 2 5 1
B(1片) 1 7 6
1.(1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳
表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
(2)两种药片的有效成分如下表所示：
若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打和28 mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．
变式训练
1.(1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳
表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．
变式训练
解析：
(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000.故填4.5t<28 000.
4.5t<28 000
成分 药片　　 阿司匹林(mg) 小苏打(mg) 可待因(mg)
A(1片) 2 5 1
B(1片) 1 7 6
1.(2)两种药片的有效成分如下表所示：
若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打和28 mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．
变式训练
(2)设提供A药片x片，B药片y片，由题意可得：
∵ x＜y＜0 ，∴xy＞0，x－y＜0.
∴ －2xy(x－y) ＞0，
∴ (x2＋y2)(x－y) ＞ (x2－ y2)(x ＋ y) ．
典例讲解
例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－ y2)(x ＋ y)的大小．
(x2＋y2)(x－y) － (x2－ y2)(x ＋ y)＝－2xy(x－y)
解析
例3、已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
典例讲解
解析
x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·，
因为x<1，所以x－1<0.
又>0，所以(x－1) <0.
所以x3－1<2x2－2x.
若把条件x<1改为x>1，其结果如何？
用作差法比较两个实数大小的基本步骤
第一步，作差并化简，其目标应是n个因式之积、完全平方式或常数的形式；
第二步，判断差值与0的大小关系，必要时需分类讨论；
第三步，得出结论．
方法归纳
变式训练
2.(1)已知x>0，试比较与1＋的大小．
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
解析:
(1)因为()2－ ()2
＝1＋x－() ＝－ <0，
所以()2＜ ()2.
又因为>0， 1＋>0，所以 < 1＋.
变式训练
2．(2)已知a>0，试比较a与的大小．
解析:
(2)因为a ＝ ＝ ，
因为a>0，
所以当a>1时， >0，有a>；
当a＝1时， ＝0，有a＝；
当0综上，
当a>1时， a>；
当a＝1时， a＝；
当01．用作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
第四步：最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
素养提炼
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是(　　)
当堂练习
D
2.若A=+3与B=+2,则A与B的大小关系是(　　)
A.A>B B.A由于A-B=+3->0,所以A>B,故选A.
解析:
A
当堂练习
3.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.
各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
故x应满足的不等关系为
解析:
当堂练习
4.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1.
(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0,所以2x2+3>x+2.
故当a>1时,a+2> ; 当a<1时,a+2< .
(2)(a+2)-.
由于a2+a+1=>0,
所以当a>1时,>0,即a+2>;
当a<1时,<0,即a+2<.
解析:
1、不等式与不等关系
(1)不等式的定义所含的两个要点.
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
提公因式、因式分解、配方、通分等
作差
变形
定号
结论
【注】这既是比较大小（证明不等式）的基本方法，
也是推导不等式性质的基础。
3、数学思想：
分类讨论的思想
2、作差法比较大小步骤：
归纳小结
作 业
教材P42习题2.1：2、3.