高中数学必修第一册人教A版（2019）2.1《等式性质与不等式性质》教学设计

《等式性质与不等式性质》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.不等关系与不等式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 不等式的性质 【考查题型】 选择题、填空题为主,也可能涉及解答题
2.等式与不等式的基本性质 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节主要是类比等式的学习内容和方法,展开不等式的研究.通过本节学习,学生能掌握不等关系与不等式性质,并应用不等式解决问题.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.不等关系与不等式 2.等式与不等式的基本性质 数学抽象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中阶段已经学过简单不等式,会比较两个实数的大小,但是不太会准确地用不等式或不等式组表示出不等关系,或难以把握在两式作差变形上的灵活度,或由于对性质的前提理解不到位导致不能正确地理解和使用不等式的性质.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.不等式的概念和实数大小比较
2.等式与不等式的性质及其应用
【教学目标设计】
1.经历探索不等式的基本性质的过程,理解不等式的基本性质.
2.在不等式基本性质的探索过程中,渗透类比思想方法.
3.在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性.
【教学策略设计】
本节内容包括不等关系与不等式、利用作差比较法比较两个多项式大小以及不等式的性质.由于不等式的性质是深入研究不等式的基础,教学时要根据学生学习的实际情况,选择其中的几个性质进行证明,使学生对不等式的性质理解、掌握和加以运用.
【教学方法建议】
探究教学法,还有_____________________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异.
难点:
1.类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法,研究不等式的基本性质.
2.等式与不等式的共性与差异.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:生活中的数量关系不外乎两种:相等关系与不等关系,不等关系在我们现实生活中普遍存在着.我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系.那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据
【设计意图】
指出研究不等式基本性质的重要性与必要性,点明本节要研究的内容.
教学精讲
探究1 不等式的概念和实数大小比较
师:请同学们思考下面的问题:
【情境设置】
不等关系
1.你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗
(1)某路段限速;
(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于,蛋白质的含量应不少于;
(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
2.某种杂志原以每本元的价格销售.可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
【以学论教】
通过数学实例,使学生认识到数量关系可以用不等式来表示,培养学生将现实情境转化为数学语言的抽象能力.
【学生思考,小组讨论自主解答第1题,教师针对第2题引导学生思考,给予肯定或补充】
师:设提价后每本杂志的定价为元,则销售总收入为万元,你能用不等式表示上述的关系吗
生:.
师:如何解上述不等式呢 我们需要先研究一下不等式的性质.
师:初中我们借助于数轴,学习过实数大小的比较,在数轴上实数大小是如何规定的
生:如果在数轴上两个不同的点与分别对应不同的实数,那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
【简单问题解决能力】
通过具体问题,将实际问题转化为数学问题,培养学生简单问题的解决能力.
【要点知识】
比较实数大小的方法
1.借助数轴比较:
2.从实数运算角度下定义:如果,那么;如果,那么;如果,那么,反过来也对.
3.用数学符号语言来表示:.
师:从定义可知,要比较两实数的大小,可以转化为这两个实数的差,通过差值的符号去判断两个实数的大小,也就是作差法.下面请看例题.
【典型例题】
比较实数大小
例1 比较和的大小.
【学生独立完成,教师巡视,点评】
师:通过考察这两个多项式的差与0的大小关系可以得出它们的关系.
【分析计算能力】
利用作差法比较代数式的大小关系,提升学生的分析计算能力.
【情景设置】
相等关系和不等关系的应用
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
【情境学习】
学生在数学文化情境中通过图象抽象出不等式,为学习基本不等式做铺垫.
【教师引导学生观察图形,从代数的角度给予说明,学生交流讨论,得出不等式,并给出取等号时满足的对应条件“当且仅当”】
师:请同学们课下完成巩固练习.
【巩固练习】
不等关系与比较大小
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度(单位:m)从地而算不能超过;
(2)与的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长(单位:)大于宽(单位:)的4倍.
2.比较和的大小.
3.已知,证明.
【整体学习】
通过巩固练习,加深学生对不等关系与比较大小知识的理解和应用及对知识点的整体把握.
探究2 等式与不等式的性质及其应用
师:在初中我们已经学习了等式的一些基本性质,我们先来想一想等式有哪些基本性质
【学生回顾,回答等式的五条基本性质,教师引导学生观察,发现性质1和性质2反映的是等式在运算中保持的不变性】
【要点知识】
等式的性质
性质1 如果,那么;
性质2 如果,那么;
性质3 如果,那么;
性质4 如果,那么；
性质5 如果,那么.
【设情境,巧激趣】
通过复习等式的性质,引导学生进行对比联想得到不等式的性质,通过类比的思想,以旧带新,由浅入深地讲解新知识,有利于学生对新知识的理解和掌握.
师:在不等式两边加、减、乘、除不同的数,是否也具有保持不等号不变的特性 或不等号一定改变的特性
师:你能通过等式的性质1和性质2类比、猜想相应的不等式的性质,并给出证明吗
【学生类比等式性质,猜想,得到不等式的对称性和传递性,教师给予肯定或补充】
【要点知识】
不等式的基本性质1、2
性质1 ;
性质2 .
师:怎样证明不等式的传递性
生:由两个实数大小关系的基本事实知.
【学生讲解,教师给予肯定】
师:如下图,把数轴上两个点与同时沿相同方向移动相等的距离,得到另外两个点与与和与的左右位置关系的不变性,你能用不等式的语言表示吗
【学生通过已知性质尝试推导得出性质3,教师巡视,指出学生出现的问题】
【要点知识】
不等式的基本性质3
性质3 可加性:如果,那么.
推论:.
【猜想探究能力】
类比等式的基本性质,验证猜想的结论,提升学生的猜想探究能力.
【教师通过所得性质引导学生继续得到余下的性质,并尝试让学生进行证明,学生小组讨论,证明不等式的基本性质4,5】
【要点知识】
不等式的基本性质4、5
性质4 可乘性:①;②.
说明:注意的正负会决定不等号方向是否改变!
性质5 如果,那么.
师:利用性质4和性质2,可以推出同向可乘性和可乘方性,试着证明.
【学生独立完成,教师巡视总结】
【要点知识】
不等式的基本性质6、7
性质6 同向同正可乘性:;
性质7 可乘方性:.
推论:.
师:性质6式中的大于0能否省略 你是如何得出这一结论的
生:不能.
生:通过在不等式两边加乘具体数字归纳出来的.
师:如何验证你的结论
生:作差比较法.
生:还可以利用性质2去证.
师:与等式的基本性质相比,在利用不等式性质解决有关不等式问题时,特别要注意符号问题.
【推测解释能力】
根据学过的不等式性质,经过推理,发现新的性质,提升学生的推测解释能力.
【典型例题】
不等式基本性质的应用
例2 已知:,求证:.
【学生分别用不等式性质、作差比较法、数形结合的思想方法证明,教师点评】
【巩固练习】
已知:,求证:.
师:本节我们依据“基本事实”,类比等式的基本性质, 住“运算中的不变性”得出了不等式的基本性质,通过学习,你有什么收获
【说明论证能力】
利用不等式的基本性质证明不等式,提升学生的猜想探究能力.
【课堂小结】
等式性质与不等式性质
【设计意图】
通过引导学生梳理本节课的知识点,使学生对等式性质与不等式性质有一个系统的认识,同时使学生养成良好的学习习惯,通过本节课的学习,培养了概括理解、说明论证、推测解释、简单问题的解决能力,提升了数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,学生会将不等式关系用不等式表示,会进行不等式性质的推导,会运用不等式的性质解决相关问题.
应用所学知识,完成下题:
请将下列事实表示为不等式,并分别给出证明.
(1)向一杯糖水里加点糖(假设全部溶解),糖水变甜.
(2)把糖水(淡)与糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
解析:本题主要考查根据不等式的性质比较不等式大小的方法,具体解题过程如下:
(1)设糖水,含糖,则这杯糖水的浓度为,加入糖后的浓度为.
提炼出的不等式:若,则.
证明:∵.
(2)设淡糖水,含 ,易知浓度为;浓糖水,含糖,易知浓度为,则混合后的浓度为.
提炼出的不等式:若,且,则.
证明:∵,且,
同理:.
【设计意图】
本题主要是对利用不等式的性质比较大小.教学时,要注意提醒学生按标准、有序地进行不重不漏的分类.
教学反思
本节课以具体的生活实例为背景,利用转化思想将实际问题转化为数学问题,将不等关系用不等式表示,建立数学模型,让学生体会数学在实际问题中的应用价值,感受不等式应用的广泛性和重要性,从而激发学生的学习兴趣和自主动手解决实际问题的能力.在不等式性质的推导过程中,多次使用作差法,学生易于接受且运用熟练,学生从问题中尝试、提炼、总结、运用,培养发现问题、研究问题和分析解决问题的能力,在教学过程中不断向学生渗透转化、类比的数学思想,让学生在活动中体会数学思想的重要性.
【以学论教】
对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程,不断向学生渗透转化、类似思想,使学生在类比学习中掌握不等式相关知识.
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