高中数学必修第一册人教A版（2019）《等式性质与不等式性质》能力探究

《等式性质与不等式性质》能力探究
分析计算能力比较两个数(式)的大小
比较两个数(式)的大小,通常采用比较法:
(1)两个实数比较大小的依据
①作差法
②商法
(2)两个数(式)比较大小的方法的基本步骤
①作差法:其基本步骤为作差,变形,判断符号,得出结论.用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法.
②作商法:判断商与1的关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子与分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.
典例1[数学运算]已知为正实数,试比较较的大小.
点拨：本题为比较两个式子的大小的题,需根据题意分析,决定采用哪种方法,先计算再做比较.作差法比较大小只要判断其差的正负即可,不必追究差多少,如果要比较两式均为正或是幂、因式乘积的形式可用作商法.常用的方法是分解因式或变成完全平方和的形式.
解析:作差法:.
∵为正实数,∴.
∴,
∴
推测解释能力不等式性质的应用
1.有关判断性命题,主要依据不等式的概念和性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据.一般来说,要判断一个命题为真命题,必须严格证明,要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.应用不等式的基本性质解题时,需要注意,在解选择题时有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.对于不等式的证明,多利用比较法或不等式的性质进行证明.
2.根据不等式的性质,很容易得到如下性质的拓展：
(1).
(2).
(3).
典例2[逻辑推理](1)(2019-四川绵阳二中月考)有四个不等式:①;②;③;④.若,则不正确的不等式的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)(2019-江西临川一中期中)给定下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
点拨:根据不等式的性质进行计算就可以求解本题.
解析:(1)由可得,从而,①不正确;,②不正确;,则的成立,③正确;,④正确.故不正确的不等式的个数为2.故选C.
(2)由性质7可知,只有当时,才成立,故①②都错误;对于③,只有当且时,才成立,故③错误;当时,④错误.故正确的命题个数为0,故选.
答案:(1)(2)
简单问题解决能力不等关系与不等式性质的综合应用
函数的单调性与函数对应的不等式的性质本质上是一致的.
典例3.[数学运算]已知二次函数的图象过原点且,求的取值范围.
点拨：解决本题可用待定系数法或解方程组的思想,可由运算求解出的取值范围,本题不能单独求出和的取值范围.
解析：
设令.
∴.
∵,
∴.
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