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直线与圆的方程
习题精练 高考真题 题题到位
选择题
1.已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A.－ B.1 C.2 D.
答案：C
解析：由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
2.在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.
3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D
解析：圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4.已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为，故中心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.
二、填空题
5.已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为________．
答案：
解析：因为l1∥l2，所以两直线的距离d＝＝.
6.已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案：4
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，∴OH为直角梯形ABDC的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
7.在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的橫坐标为________．
答案：3
解析：法一：设A(a,2a)，则a＞0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.由题意知C.由解得或∴D(1,2)．又·＝0，＝(5－a，－2a)，＝，
∴(5－a，－2a)·＝a2－5a－＝0，解得a＝3或a＝－1.又∵a＞0，∴a＝3.
法二：如图，∵AB为圆C的直径，∴AD⊥BD，
∴BD为B到直线l的距离，且BD＝＝2.
∵CD＝AC＝BC，CD⊥AB，
∴AB＝BD＝2，
设A(a,2a)，a＞0，则AB＝＝2，解得a＝－1或a＝3.又∵a＞0，∴a＝3.
8.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
答案：4π
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
9.在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案：[－5，1]
解析：设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．又点P在圆x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，结合图象，可得－5≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
10.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
答案：2＋y2＝
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为2＋y2＝.
11.已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案：4
解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l 的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
三、解答题
12.已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.
13.在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
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高中数学(新RJ·A)选择性必修第一册 直线与圆的方程 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
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1.已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A.－ B.1 C.2 D.
2.在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
4.已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题
5.已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为________．
6.已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
7.在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的橫坐标为________．
8.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
9.在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
10.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
11.已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
三、解答题
12.已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
13.在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
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