勾股定理[下学期]

第十八章 勾股定理
单元规划
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半．本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是非常重要的性质．
勾股定理揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产实践中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
本单元的知识结构和特点如下：
一、让学生亲身体验勾股定理的探索和运用过程
勾股定理的发现从传说说起，从故事中，让学生通过观察计算以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质．因而猜想所有的直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2。
用勾股定理探索三个问题，又一次让学生体验到了它的运用过程．探索1木板进门问题；按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试，这个问题可以用勾股定理解决；探究2是梯子滑动问题；梯子顶端滑动一段距离，梯子底端是否也滑动相同的距离．这个问题可以转化为已知斜边和一条直角边长，求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决；探究3是在数轴上画出表示的点．在数轴上画表示的点可以转化为画长为的线段的问题，而长为的线段是直角边都是1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边，从而可以画出长为的线段，并在数轴上画出表示 的点．
二、结合具体例子介绍抽象的概念
在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题，逆定理的内容．
在勾股定理一节中，先让学生观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1．由此说明，经过证明被确认的正确的命题叫做定理．
在勾股定理逆定理一节中，从古埃人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形(已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方)，可以发现画出的三角形是直角三角形．因而猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2．把命题2的条件和结论与上节的命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路．同三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念．
命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况．为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立．教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立．
三、注重介绍数学文化
我国古代的学者们对勾股定理研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它．尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这都是我国人民对人类的重要贡献，从而激发学生的爱国热情和民族自豪感，树立热爱科学，献身科学的远大理想．
教学过程中要让学生获得更多的与勾股定理有关的背景知识，还可以安排一些数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与学生交流．同时，要适当总结与定理、逆定理有关的内容．例如对第七章“三角形”，第十三章“全等三角形”中的一些结论进行更进一步认识和总结．
本单元的教学时间需8个课时，具体安排如下：
18．1 勾股定理 4课时
18．2 勾股定理的逆定理 3课时
数学活动
小结 l课时
18.1 勾股定理
课时安排
四课时
从容说课
勾股定理是反映自然畀基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用．勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．
本节让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现勾股定理；勾股定理的证明方法很多，而教材中主要介绍的是一种面积证法，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系．由勾股定理可知，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一直角边的长，就可以求出另一直角边的长．教材中的三个探究栏目让学生学会用勾股定理解决问题．
因此，本节的重点是体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题．难点是勾股定理的证明．在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与这些活动，通过观察实践、推理、交流等获得结论，并证明结论，发展空间观念和推理能力．同时，勾股定理的应用较为广泛，教师可补充一下其他现实情境，鼓励学生自己寻找解答方法，勾股定理的探索．发现及验证的过程中，数形结合的思想有较多的体现，教师在教学中应注意渗透．
18.1 勾股定理(一)
教学时间
第一课时
三维目标
一、知识与技能
让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．
二、过程与方法
1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．
三、情感态度与价值观
1．培养学生积极参与、合作交流的意识，
2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．
教学重点
探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。从而发现勾股定理．
教学难点
以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．
教具准备
学生准备若干张方格纸，
多媒体课件演示．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗
问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火
问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义 为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽
设计意图：
问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生探究的欲望．反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一基本观点．
师生行为：
教师可引导学生将问题2转化为数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题，学生会感到困难。从而教师指出：学习本章，我们就能回答上述问题．首先我们先来看一个传说．
二．实际操作，探索直角三角形的三边关系
活动2
问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．
同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么 是否也和大哲学家有同样的发现呢
问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗
问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗
观察下图，并回答问题：
(1)观察图1
正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；
正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；
正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格 它们的面积各是多少 你是如何得到上述结果的 与同伴交流．
(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
图2
图3
设计意图：
通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．
师生行为：
对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论．
生：在课本图18.1—1中，地面是由完全相同的小等腰直角三角形拼成，并且每两个小的等腰直角三角形拼成一个小正方形．设小正方形的面积为1，则以AB，AC为边的小正方形的面积都为1，而以斜边BC为边的小正方形是由四个全等的等腰直角三角形拼成，因此它的面积为2，我们可以发现等腰直角三角形以直角边为边的小正方形的面积和等于以斜边为边的稍大的正方形的面积．即两直角边的平方和等于斜边的平方．
对于问题3，可让学生在自己准备好的小方格纸上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，并在小组内交流．学生计算C正方形的面积，可能有不同的方法．不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划成为4个全等的等腰直角三角形来求，都应予以肯定，并鼓励学生用语言进行描述．
生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．
师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论．并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗
生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢
师：的确如此，想知道结果吗 我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究．
活动3
问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗 如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)
问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗
设计意图：
进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具一般性．
师生行为：
同样让学生计算A、B、C，A'、B'、C'的面积，但正方形C和C'的面积不易求出，可以让学生在预先准备好的方格纸上画图形，在剪一剪、拼一拼后发现求正方形C和C'的面积的方法．
生：从图中不难观察出A，B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A'、B'两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．
生：正方形C的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即5×5－4××2×3＝13．所以正方形A的面积＋正方形B的面积等于正方形C的面积，即4＋9＝13。
用同样的方法计算C的面积可得8×8－4××3×5＝64－30＝34．所以正方形A'的面积＋正方形B'的面积＝正方形C'的面积．
师生共析：
如果将虚线标出的正方形C和C'周围的四个直角三角形分别沿斜边折叠进去，你会得出什么结论呢
正方形C的面积就等于1＋4××2×3＝13．正方形C'的面积就等于4＋4××3×5＝34．和前面的结论一样．
生：通过上面的折叠我发现了该图案正是2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标。
师：很正确．我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，
一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论
我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．
生：也有上述结论．
师：当时大哲学家也发现并进一步深人探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．
这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．
勾股定理到底是谁最先发现的呢 我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．
大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．
三、例题剖析
活动4
问题1：小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗 你能解释这是为什么吗
问题2：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高
(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．
设计意图：
问题1、2是贴近学生生活有趣的实例，学生可利用勾股定理解决．直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边．体验勾股定理解决生活中问题的过程．
师生活动：
问题1：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．
问题2：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：＝15(m)；15＋9＝24(m)，
所以旗杆折断之前高为24m．
(2)解：另一直角边的长为＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为×8×15＝60(cm2)．
师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．
四、课时小结
1．掌握勾股定理及其应用；
2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．
主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法获取新知的途径等方面进行小结，后由教师总结．
板书设计
活动与探究
11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵树树干间的距离是50肘尺．每棵树上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．
问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远
过程：首先应将此经典名题的内容抽象成数学问题，画图形(如下图)
由题可知这两只鸟同时看见鱼A，立刻出发，同时到达目标，因此AB＝AC．
设所求的距离为x肘尺．
棍据直角三角形的三边关系，有
AB2＝302＋x2，AC2＝202＋(50－x)2．
∵AB＝AC；
∴302＋x2＝202＋(50－x)2。
经过化简整理，得
100x＝2000．
这是一个一元一次方程，解得
x＝20．
结论：因此，这条鱼出现的地方距比较高的树的树根20肘尺．
www.1230.org 初中数学资源网 收集整理18.1 勾股定理(四)
教学时间
第四课时
三维目标
一、知识与技能
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历在数轴上寻找表示无理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾殷定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
在数轴上寻找表示，……这样的表示无理数的点．
教学难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
[例1]飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男接头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米
[例2]如图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，巳知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A'的距离是多少
[例3]在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少
设计意图：
让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．
师生行为：
先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自主完成上面三个例题：
②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中的方程的思想．
师生共析：
例1：分析：根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5000米，AC＝4800米，由勾股定理，得
AB2＝AC2－BC2．即50002＝BC2＋48002，
所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它l小时飞行的距离为1400×6×60＝50400米＝504千米，即飞机飞行的速度为504千米／时．
评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．
例2：分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．
解：如例2图，由题意知△ABA'是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知；
AA'＝2×6＝12米，AB＝5米；
在Rt△A'AB中，A'B2＝AA'2＋AB2＝122＋52＝169＝132米
所以A'B＝13米，即B点到物体A的像A'的距离为13米．
评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理，轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．
例3：分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD．
所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2十62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，6AC＝27，AC＝4.5．所以这里的水深为4.5分米．
评注；在几何计算题中，方程的思想十分重要．
二、讲授新课
活动2
问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出
的点吗 的点呢
设计意图：
上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当作直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．
师生行为：
学生小组交流讨论
教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．
此活动，教师应重点关注；
①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；
②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；
③学生能否积极主动地交流合作．
师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可．
我们不妨先来画出长为的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢
生：设c＝，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2即a2＋b2＝13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3．所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上面出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3；
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2；
3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
活动3
练习：在数轴上作出表示的点．
设计意图：
进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视．
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两个直角边为整数的直角三角形．
生：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如图：
三、巩固提高
活动4
问题：(1)根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢
(2)欣赏下图，你会得到什么启示
设计意图：
进一步熟悉直角三角形的三边关系．让学生在学习的过程中欣赏和创造美．
师生行为：
学生分组活动，交流讨论．
教师参与于学生的小组活动中去．
本活动教师应重点关注：
①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．
②能否积极参与，欣赏数学美．
生：用上述方程找到了长度为、、、……的线段，因此在数轴上便可以表示出来．教学时可以先画出、，……之后，再画，画法不唯一，如下图：
四、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识 会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供了更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
学生小组内交流、反思．
教师巡视指导．
在活动5中教师应重点关注：
①不同层次学生对本节知识的认知程度；
②学生独立面对困难，克服困难的能力．
板书设计
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18．1 勾股定理(四)
1．在数轴上画出表示的点，分以下四步完成：
(1)将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题．
(2)由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边．
(3)通过尝试发现，长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
(4)画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．
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活动与探究
河海宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设红地毯，主楼梯宽4米，购货员在市场上选中一种宽度合适的地毯，每平方米50元，帮他计算一下，购买铺这段楼梯的地毯，大约需多少钱
过程：此题看似是在一个直角三角形中求斜边，其实不然，由于楼梯的水平方向和竖直方向都需要铺，所以水平方向长度和即为6.4m，竖直方向长度和即为4.8 m
结果：地毯共需：4.8＋6.4＝11.2(m)．
面积为11.2×4＝44.8(m2)．
44.8×50＝2440(元)
所以购买地毯共需2440元．
习题详解
习题18．1
1．AC＝＝8；
AB＝＝17．
2．解：设旗杆折断之前有xm，根据勾股定理，得
(x－6)2＝62＋82，
(x－6)2＝100．
因为x－6＞0，所以x－6＝10，
∴x＝16．
所以旗杆折断之前的高度为16m．
3．解：根据勾股定理，得
AB＝＝2.5，
即AB的长为2.5 cm．
4．解：AC＝40－21＝19cm，DC＝60－21＝39(cm)．
根据勾股定理，得
AB＝≈43.4(mm)．
即两孔中心距离为43.4mm．
5．解：根据勾股定理，得
＝2(m)．
所以地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是2m．
6．解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为4，2时，斜边的长为，如下图所示：
7．解：(1)∠A＝30°，AB＝10，所以BC＝5
因为∠C＝90°，根据勾股定理，得
AC＝＝5≈8.66．
(2)∠A＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，即BC＝AC
根据勾股定理，得2BC2＝2AC2＝100，
所以BC＝AC＝5≈7.07．
8．解：在△ABC中，∠C＝90°．
(1)△ABC的面积＝×2.1×2.8＝2.94(cm2)；
(2)根据勾股定理：AB2＝＝3.5(cm)；
(3)因为CD×AB＝AC×BC，
所以CD＝＝1.68(cm)．
即高CD为1.68cm．
9．解：根据题意，得
l＝≈82(mm)．
10．解：设水的深度为x尺，这根芦苇的长度为(x＋1)尺，根据题意，设：
(x＋1)2＝x2＋(10÷2)2．
解这个方程得x＝12，
x＋1＝13．
所以水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．
11．解：以AB为直径的半圆的面积为
×π×()2＝AB2；以BC为直径的半圆的面积为×π×()2＝BC2；
以AC为直径的半圆的面积为π×()2＝AC2．
因为∠C＝90°，所以AB2＝BC2＋AC2
AB2＝BC2＋AC2
即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和．
12．解：阴影部分的面积＝以AC为直径的半圆的面积＋以BC为直径的半圆的面积＋Rt△ABC的面积－以AB为直径的半圆的面积．根据11题的结论可知：
阴影部分的面积＝Rt△ABC的面积＝20cm2．
13．解：根据题意可知：OB＝1.6÷2＝0.8m，OA＝2÷2＝1m，在Rt△OAB中，
AB＝＝0.6(m)，
1－0.6＝0.4≥0.2，
所以这辆卡车能通过厂门．
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教学时间
第三课时
三维目标
一、知识与技能
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1. 经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2. 在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
将实际问题转化为直角三角形模型．
教学难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设情境，引入新课
活动1
问题：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子
设计意图：
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．
此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用．
师生行为：
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入小组活动中，倾听学生的想法．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；
②学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；
③学生参加数学活动是否积极主动．
生：根据题意，(如下图)AC是建筑物，则AC＝12m，BC＝5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；AB＝13m．
所以至少需13m长的梯子，
师：很好!
由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
二、讲授新课
活动2
问题：一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
设计意图：
进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力．
师生行为：
学生分组讨论，交流，教师深入学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
教师在此括动中应重点关注：
①学生能否独立思考，发现解决问题的途径比较AC与宽2.2m的大小即可；
②学生遇到困难，能否有克服的勇气和坚强的毅力．
生：从题意可以看到，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5．
因此AC＝≈2.236．
因为AC＞木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
活动3
问题：如下图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗
设计意图：
进一步熟悉如何将实际问题转化成数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力．
师生行为：
学生独立思考后，在小组内交流合作．
教师深入到学生的数学活动中，倾听他们是如何将实际问题转化为数学问题的．
教师在此活动中应重点关注：
①学生克服困难的勇气和坚强的意志力；
②学生用数学知识解决实际问题的意识．
生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．
观察图形，可以看到BD＝OD－OB，求BD可以先求出OB，OD．
师：OB，OD如何求呢
生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB＝3m，OA＝2.5 m，所以OB2＝AB2－OA2＝32－2.52＝2.75．
OB≈1.658m(精确到0.001m)
在Rt△OCD中，OC＝OA－AC＝2m，CD＝AB＝3m，所以OD2＝CD2－OC2＝32－22＝5．
OD≈2.336m(精确到O.001m)
BD＝OD－OB＝2.236－1.658≈0.58m(精确到0.01m)所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．
活动4
问题：“执竿进屋”：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．
—一当代数学教育家清华大学教授
许莼舫著作《古算题味》
设计意图：
通过古代算题的研究，揭发学生学习数学的兴趣，进一步提高学习数学应用数学知识的能力．
师生行为：
学生先独立思考，读懂题意，后小组交流、讨论、合作完成本活动．
教师深入到学生的数学活动中去，倾听学生理解题意，寻找解题思路的过程．
本活动教师应重点关注；
①学生能否积极主动地参与，
②学生能否运用勾股定理，借助方程(或方程组)解决问题．
生：解：设竿长为x尺，门框的宽度为(x－4)尺，高度为(x－2)尺，根据题意和勾股定理，得
x2＝(x－4)2＋(x－2)2．
化简，得x2－12x＋20＝0，
(x－l0)(x－2)＝0，
xl＝10，x2＝2(不合题意，舍去)．
所以竿长为10尺．
三、巩固提高
活动5
练习：1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长(结果保留整数)．
2．如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，你能求出A、B两点间的距离吗
设计意图：
进一步提高学生应用勾股定理解决问题的能力．提高学生学习数学的兴趣．
师生行为：
由学生在黑板上板演，其他同学在练习本上完成，教师可巡视学生完成的情况，对程度较差的学生给予及时的辅导．
在本活动中，教师应重点关注；
①学生能否独立完成任务；
②学生解答的过程是否严格规范．
生：1、解：设圆的直径为xdm，根据勾股定理，得
502＋502＝x2，
解得x≈71．
所以圆的直径改为71dm．
2．解：如右图，在Rt△ABC中，AC＝20m，BC＝60m，根据勾股定理，得
AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3200，
AB＝40
所以A，B两点间的距离为40m．
四、课时小结
活动6
问题：谈谈你这节课的收获有哪些 会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．
设计意图：
通过本节，让学生利用勾股定理，完成了将实际问题转化为直角三角形的数学模型的全过程．
师生行为：
学生思考总结．
教师完善，得出结论：
本节是从实际问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解决．
在活动6中，教师应重点关注：
(1)学生能否从实际问题出发，将实际问题转化成直角三角形的问题，并用勾股定理完成解决，体验勾股定理的重要性；
(2)学生是否积极主动地参与小结．
板书设计
活动与探究
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路爬最近 你能帮它找出来吗 (这个长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B离点C5厘米)
过程：要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化成平面图形，即将A和B所在的相邻的两个面展开，利用“两点之间，线段最短”，就可求得．
结果：根据题意，最短路径有下列三种情况(如下图所示)．
由图(1)求得AB2＝AB12＋BB12＝152＋202＝625，
由图(2)求得AB2＝BC12＋C1A2＝252＋102＝725；
由图(3)求得AB2＝AC2＋BC2＝302＋52＝925．
比较上面结果，可知最短路径应为AB＝25厘米．
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从容说课
本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形(已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方)．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件，结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路，用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念。
命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况．为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立．
本节的重点是，如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形。难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题，教学时要给学生充分交流的时间和空间，让学生学会自主学习．
18.2 勾股定理的逆定理(一)
教学时间
第五课时
三维目标
一、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．
2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
三、情感态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
教学重点
探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．
教学难点
归纳、猜想出命题2的结论．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问属情境，引入新课
活动1
(1)总结直角三角形有哪些性质．
(2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形
设计意图：
通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．
师生行为：
学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．
本活动，教师应重点关注学生：
①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；
②能否“温故知新”．
生：直角三角形有如下性质：
(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢
生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢 我们来看一下古埃及人如何做
二、讲授新课
活动2
问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．
设计意图：
由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．
师生行为：
让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．
教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：
①能否积极动手参与．
②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．
③学生是否有克服困难的勇气．
生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．
生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．
再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．
是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢
活动3
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c
5，12，13；7，24，25；8，15，17．
(1)这三组效都满足a2＋b2＝c2吗
(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗
设计意图：
本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件．
师生行为：
学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，
教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．
本活动教师应重点关注学生：
①对猜想出的结论是否还有疑虑．
②能否积极主动的操作，并且很有耐心．
生：(1)这三组数都满足a2＋b2＝c2．
(2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．
师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足
a2＋b2＝c2
那么这个三角形是直角三角形．
同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．
“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢
如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．
建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢
生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．
据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．
活动4
问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足
a2＋b2＝c2
那么这个三角形是直角三角形．
它们的题设和结论各有何关系
设计意图：
认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题 你前面遇到过有互逆命题吗
师生行为：
学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．
教师认真倾听学生的分析．
教师在本活动中应重点关注学生；
①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．
②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．
生：我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．
生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题．“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．
生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．
三、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要．
师生行为：
教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．
在活动5中，教师应重点关注学生：
(1)不同层次的学生对本节的认知程度．
(2)学生再谈收获是对不同方面的感受．
(3)学生独立面对困难和克服困难的能力．
板书设计
活动与探究
Tom和Jerry去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗
过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形．
结果：可在背包带上打结，在背包带上打13个等距离的结，把第5个结固定在地上，Tom拿住第1个和第13个结，而Jerry拿住第8个结，拉直背包带，第5个结处即为直角，(图略)
www.1230.org 初中数学资源网 收集整理18.2 勾股定理的逆定理(二)
教学时间
第六课时
三维目标
一、知识与技能
1．了解证明勾股定理逆定理的方法．
2．理解逆定理，互递定理的概念．
二、过程与方法
1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．
2．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．
三、情感态度与价值观
1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．
2．培养学生与人合作、交流的团队意识．
教学重点
勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．
教学难点
互逆定理的概念．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24
设计意图：
帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．
师生行为：
由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否熟练地完成填空；
②学生是否积极主动地完成任务．
生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，
能构成直角三角形的是；①④⑥⑦
二、讲授新课
活动2
问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗 如何证明呢
设计意图：
由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力
师生行为：
让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．
本活动中，教师应重点关注学生：
　①能否在教师的引导下，理清思路．
②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗
我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗
生：我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c
△ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．
即命题2是正确的．
师：很好，当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理．
师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗
生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．
师：你还能举出类似的例子吗
生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．
显示原命题成立，而逆命题不成立．
活动3
练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形 为什么
2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(3)全等三角形的对应角相等．
(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
设计意图：
进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．
师生行为：
学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注学生．
①学生对勾股定理的逆定理的理解．
②学生对互为逆命题的掌握情况．
②学生面对困难，是否有克服困难的勇气．
师：我们先来完成练习第1题．
生：a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．
生：2．(1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．
(2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．
(3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．
(4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．
三、巩固提高
活动4
[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗
[例2](1)判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．
解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，
即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．
请问：上述解法对吗 为什么
(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．
求证：AB＝AC．
设计意图：
这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．
学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．
师生行为：
先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否进一步理解勾股定理的逆定理，
②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．
③能否从中体验到学习的乐趣。
生：例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
例2：(1)解：上述解法是不对的．因为a＝10，b＝8，c＝6，b2＋c2＝64＋36＝100＝102＝a2，即b2＋c2＝a2．所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边．
评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边．往往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和．
(2)证明：根据题意，画出图形，AB＝13cm，BC＝10cm．
AD是BC边上的中线→BD＝CD＝5cm，在△ABD中AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，AB2＝169，AD2＋BD2＝122＋52＝169．所以AB2＝AD2＋BD2．则∠ADB＝90°．∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°．
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝122＋52＝132．
所以AC＝AB＝13cm．
四；课时小结
活动5
问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．
小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗
在活动5，教师应重点关注学生：
①不同层次的学生对本节知识的认识程度．
②学生再谈收获是对不同方面的感受．
③学生独立面对困难和克服困难的能力，
板书设计
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18.2 勾股定理的逆定理(二)
勾股定理的逆定理的证明
构造Rt△A'B'C'，使两直角边为a，b，∠C'＝90°，从而得斜边A'B'＝c，得到△ABC≌△A'B'C'，所以∠C＝∠C＝90°，△ABC为直角三角形．
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活动与探究
给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．
(1)你能发现上面式子的规律吗 请你用发现的规律，给出第5个式子；
(2)请你证明你所发现的规律．
过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“( )2＋( )2＝( )2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32＝(22－1)2，82＝(32－1)2，152＝(42－1)2，242＝(52－1)2；所以我们可推想，第—项一定是(n2－1)2．(其n＞1，n为整数)，同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2＋1)2(其中n＞1，n为整数)．
(1)解：上面的式于是有规律的，即(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2(n为大于1的整数)．
第5个式子是n＝6时，即(62－1)2＋(2×6)2＝(62＋1)2化简，得352＋122＝372．
(2)证明：左边＝(n2－1)2＋(2n)2＝(n4－2n2＋1)＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝右边，证毕．
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教学时间
第七课时
三维目标
一、知识与技能
能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用章识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯．
教学重点
运用勾股定理的逆定理解决实际问题．
教学难点
将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗
问题2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
(1)你能替他想想办法完成任务吗
(2)李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗 BC边与AB边呢
设计意图：
通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力．
在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径．
师生行为：
先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．
教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导．
在此活动中，教师应重点关注学生，
①能否独立思考，寻找解决问题的途径．
②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．
③能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．
生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝．小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB的长度(如下图所示)
生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边垂直，也就是要检测∠DAB＝90°，∠CBA＝90°，连接BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形．很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．
根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DA月是否为直角三角形，即∠DAB＝90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB，BD、DA的长度，然后计算AB2＋DA2和BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD⊥AB，同理可检测BC是否垂直于AB．
师：很好，对于问题2中的第(2)个小问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗
生：可以，因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500，而BD2＝2500，所以AD2＋AB2＝BD2．可得AD与AB垂直．
师：小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗
生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的长度．
生：这样做误差太大，可以AB，AD上各量一段较小的长度．例如在AB边上量一小段AE＝8cm，在AD边上量一小段AF＝6cm，而AE2＋AF2＝82＋62＝64＋36＝100＝102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可．
如果EF＝10cm，EF2＝100，则有AE2＋AF2＝EF2，根据勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF＝90°即∠DAB＝90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，则EF2≠100，所以AE2＋AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB．
师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们．
接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．
二、讲授新课
活动2
问题：[例1]判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．
(1)a＝15，b＝8，c＝17；
(2)a＝13，b＝14，c＝15；
(3)求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长．
设计意图：
进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第(3)题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．
师生行为：
先由学生独立完成，然后小组交流．
教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
②能否发现问题，反思后及时纠正．
③能否积极主动地与同学交流意见．
生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，
172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
(2)因为132＋142＝169＋196＝365
152＝225
所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．
生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．
(3)证明： m＞n、m、n是正整数
(m2－n2)＋(m2＋n2)＝2m2＞2mn，
即(m2－n2)＋(m2＋n2)＞2mn
又因为(m2－n2)＋2mn＝m2＋n(2m－n)，
而2m－n＝m＋(m－n)＞0，
所以(m2－n2)＋2mn＞m2＋n2
这三条线段能组成三角形．
又因为(m2－n2)2＝m4＋n4－2m2n2
(m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2
(2mn)2＝4m2n2，
所以(m2－n2)2＋(2mn)2
＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2
＝m4＋n4＋2m2n2
＝(m2＋n2)2
所以，此三角形是直角三角形，m2－n2、2mn、m2＋n2(m＞n、m、n是正整数)这三边是直角三角形的三边．
师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
而且我们不难发现m2－n2、m2＋n2、2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m可取值的不同会得到不同的勾股数，
例如m＝2，n＝1时，m2－n2＝22－12＝3，m2＋n2＝22＋12＝5，2mn＝2×2×1＝4，而3、4、5就是一组勾股数．
你还能找到不同的勾股数吗
生：当m＝3，n＝2时，m2－n2＝32－22＝5，m2＋n2＝13，2mn＝2×3×2＝12，所以5、12、13也是一组勾股数，
当m＝4，n＝2时，m2－n2＝42－22＝12，m2＋n2＝20，2mn＝2×4×2＝16，所以12、16、20也是一组勾股数．
……
师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法．
17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想——费马大定理，即当n＞2时，找不到任何的正整数组，使等式xn＋yn＝zn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．
活动3
问题：[例2]“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
设计意图：
让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值，
师生行为：
教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师需巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否根据题意画出图形．
②学生能否积极主动地参与活动．
③学生是否充满信心解决问题．
生：我们根据题意画出图形，(如下图)，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
解：根据题意画出下图
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18，QA＝30．
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2
所以∠QPR＝90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，所以∠RPS＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．
三、巩固提高
活动4
问题：A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向
设计意图：
进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用．
师生行为：
由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解．
解：BC2＋AB2＝52＋122＝169，
AC2＝132＝169，
所以BC2＋AB2＝AC2，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC＝90°，C地应在B地的正北方向．
四，课时小结
活动5
问题：谈谈这节课的收获有哪些 掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会．
师生行为：
教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答．
板书设计
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18．2 勾股定理的逆定理(三)
1．勾股定理的逆定理一实际问题(判定直角三角形的形状)
2．勾股数组
3．在实际生活中的应用
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活动与探究
如下图，在正方形ABCD中．E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝CD．
求证：△AEF是直角三角形．
过程：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2＋EF2＝AF2
即可．
利用代数方法(即勾股定理的逆定理)计算三角形的三边长，看它们是否是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．
结果：设正方形ABCD的边长是a，则BE＝CE＝a，CF＝ a，DF＝ a，在Rt△ABE中，由勾股定理得
AE2＝AB2＋BF2＝a2＋(a)2＝a2
同理，在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝a2＋(a)2＝a2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2＝(a)2＋(a)2＝a2
所以，AF2＝AE2＋EF2．
所以，△AEF是直角三角形．
习题详解
习题18．2
1．解：(1)a2＝49，b2＝576，c2＝625
a2＋b2＝49＋576＝625．c2＝625
所以，a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a＝7，b＝24，c＝25能组成直角三角形．
(2)a2＝2.25，b2＝4，c2＝6.25，
而a2＋b2＝2.25＋4＝6.25，
所以，a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a＝1.5，b＝2，c＝2.5可组成直角三角形．
(3)a2＝，b2＝1，c2＝，b2＋c2＝1＋．即，a2＝b2＋c2，
所以，以a＝，b＝1，c＝ 为边可组成直角三角形．
(4)a2＝1600，b2＝2500，c2＝3600．
而a2＋b2＝4100≠3600，即a2＋b2≠c2，不能构成直角三角形．
2，(1)逆命题：两直线平行，同旁内角互补．此逆命题成立．
(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角走直角．此逆命题不成立．
(3)逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等．此逆命题成立．
(4)逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等．此逆命题不成立．
3．解：根据题意，如下图所示AB＝80m，BC＝60m，CA＝100m．因为，802＋602＝1002，即AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为Rt△，即小明向东走了80m后又向北或向南走了60m，最后回到原地(A点)．
4．解：a2＝4m2，b2＝(m2－1)2＝m4－2m2＋1，c2＝(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，
而a2＋b2＝m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1．所以a2＋b2＝c2，即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数：4、3、5；
当m＝3时，可得一组勾股数：6、8、lO；
当m＝4时，可得一组勾股数，8、15、17，
5．解：AD是BC迫上的中线，且BC＝10cm，所以BD＝DC＝BC＝5cm，
AB＝13cm，AD＝12cm
132＝122＋52，所以AB2＝AD2＋BD2．
△ABD为Rt△且∠ADB＝90°，所以∠ADC＝90°，
AC＝＝13．
6．3、4、5是一组勾股数，那么3k，4k，5k(k是正整数)也是一组勾股数，因为(3k)2＋(4k)2＝(5k)2；
同样a，b、c是一组勾股数，则a2＋b2＝c2，而(ak)2＝a2k2，(bk)2＝b2k2，(ck)2＝(c2k2，所以a2k2＋b2k2＝c2k2，则ak，bk，ck，(k为正整数)也是一组勾股数．
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教学时间
第二课时
三维目标
一、知识与技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
2．运用勾股定理解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．
2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．
三、情感态度与价值观
1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．
2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．
教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．
教学难点
经历用不同的拼图方法证明勾股定理．
教具准备
每个学生准备一张硬纸板．
多媒体课件演示．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
设计意图：
回忆前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观，上节课已经通过数格子的方法大胆猜想出了一个命题；在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．但我们不能对所有的直角三角形一一验证，因此需从理论上加以推证，学生也许会从此活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明．
师生行为：
学生动手活动，分组操作，然后在组内交流．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助，指导学生完成任务，得出两个公式的几何意义．
在活动1中教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与活动，
②学生能否想到用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义；
③学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系是否也可以类似证明．
生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，
所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；
所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．
例如：
图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．
生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)
我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．
师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗
二、探索研究
活动2
我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．
(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗
(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗
大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．
对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗
设计意图：
让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系，培养学生的动手操作能力和创新意识．
师生行为：
学生在独立思考的基础上，以小组为单位交流自己拼图的结果．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系．
在本次活动中，教师应关注：
①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系．
②学生能否积极主动地参与拼图活动．
生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×ab＋c2．
化简得a2＋b2＝c2．
由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图(6)大正方形的边长是c，小正方形的边长为b－a，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为 ab×4＋(b－a)2．对比两种表示方法可得c2＝ ab×4＋(b－a)2．化简得c2＝a2＋b2．同样得到了直角三角形的三边关系．
师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它。为了弘扬我国古代数学成就．下面我们一同来欣赏我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧．
活动3
图(6)这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解(周髀算经)时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1(即勾股定理)的基本思路如下，如图(7)．
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把田(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．
因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．
因此a2＋b2＝c2
上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
设计意图：
了解我国古代数学成就，为我国数学未来的发展立志作出贡献，培养学生的爱国主义精神．
师生行为：
在教师的引导下进一步体会我国古代数学家证明勾股定理的聪明、智慧．
师：在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的．在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．
1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．
生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗
师：是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志)上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．
生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗
师：可以，如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．
生：总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．
师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．
生：上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为 (a＋b)·(a＋b)，又可以表示为ab×2＋c2。对此两种表示方法可得 (a＋b)·(a＋b)＝ ab×2＋c2。化简，可得a2＋b2＝c2．
师：很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．
活动4
议一议：
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2＋b2＝c2．
设计意图：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也满足这一关系呢 学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2。通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识．
师生行为：
学生分小组讨论交流，得出结论：
教师提出问题后，组织讨论，启发，引导．
此活动教师应重点关注：
①能否积极参与数学活动；
①能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系．
师：上图中的△ABC和△A'B'C'是什么三角形
生：△ABC，△A'B'C'在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A'B'C'中，∠A'B'C'，∠B'C'A'，∠B'A'C'都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A'B'C'是锐角三角形．
师：△ABc的三边上“长”出三个正方形．谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子．
生：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2＝9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2＝8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2＝29个单位面积．
a2＋b2＝9＋7＝16个单位面积，c2＝29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2＋b2≠c2．
师：锐角三角形A'B'C'中，如何呢
生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2＝5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2＝8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2＝9个单位面积．由此我们可以算出a2＋b2＝5＋8＝13个单位面积．在锐角三角形A'B'C'中，a2＋b2≠c2．
师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2＋b2＝c2(其中a，b是直角边，c为斜边)这样的关系．
生：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2＋b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2＋b2＜c2；在锐角三角形A'B'C'中，a2＋b2＞c2．它们恒成立吗
师：这位同学很善于思考，的确如此．同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．
三．课时小结
活动5
你对本节内容有哪些认识 会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力，情感态度方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
由学生小组讨论小结．
在活动5中，教师应重点关注：
(1)不同层次的学生对本节知识的认同程度；
(2)学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示，树立学好数学的信心。
板书设计
18．1 勾股定理(二)
1．用拼图法验证勾股定理
(1)
由上图得(a＋b)2＝ab×4＋c2
即a2＋b2＝c2；
(2)
由上图可得c2＝ab×4＋(b－a)2
即a2＋b2＝c2
2．介绍“赵爽弦图”
活动与探究
如下图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少
过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系．但是如果你用一张直角三角形的纸片往一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边．
结果：根据题意，可得一条直角边(即高)长2丈即20尺，另一条直角边(即底边)长7×3＝21(尺)，因此葛藤长设为x尺，则有x2＝202＋212＝841＝292，所以x＝29尺，即葛藤长为29尺．
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