勾股定理[下学期]
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文档简介
勾股定理（第一课时）教学设计
天台三合中学 王卫约
一、教材分析
勾股定理”这节内容主要讲述了直角三角形三边间的一种关系定理。它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。同时，也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识。更重要的是，纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何间的桥梁。勾股定理是几何中一颗美丽的奇葩，可谓家喻户晓。它在数学理论体系中的地位举足轻重，在日常生活、工农业生产中，应用极为广泛。从学生的角度来看，对勾股定理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。同时还能对学生进行爱国主义教育！
二、教学目标
1、知识目标
（1）能说出勾股定理的内容
（2）会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（3）经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2、能力目标
（1）经历不同的验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
（2）在探索勾股定理的过程中，让学生体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
3、德育目标
（1）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，增强对数学学习的兴趣。
（2）通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
三、教学重点和难点
教学重点：勾股定理
教学难点：通过探索得出勾股定理并掌握勾股定理。
四、教学方法： 动手演示、拼图、归纳、猜想。
五、教学手段：多媒体辅助教学。
六、教学设计过程
(1) 、创设情景，导入新课。
人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
2002年在北京召开了第24届国际数学大会，曾被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案（展示图案）。这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。你见过这图案吗？你听说过“勾股定理”吗？
勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。
（二）实验操作，探求新知
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
a b
情 境：毕达哥拉斯从朋友家的地砖中发现了什么？
问题1：你能发现图中等腰直角三角形ABC三边有什么关系吗？
问题2：等腰直角三角形都有上述性质吗？
观察a图，并回答问题：
(1)观察图1。
正方形A中含有＿＿＿个小方格，即A的面积是＿＿＿个单位面积；
正方形B中含有＿＿＿个小方格，即B的面积是＿＿＿个单位面积；
正方形C中含有＿＿＿个小方格，即C的面积是＿＿＿个单位面积；
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到结果的？与同伴交流。
(3)请将结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1
图2
图3
师生行为：对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论。
（设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。）
活动3：
小组合作探究：等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也有这个性质吗？如b图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C的面积，填入表中，看看能得出什么结论。
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1
图2
师生行为：让学生让算正方形A、B、C的面积，但正方形C的面积不易求出，可以让学生在预先准备好的方格纸上画出图形，发现求正方形C的面积的方法。这个活动中计算以斜边为边长的正方形的面积有一定难度，可以通过折纸法、分割法等以解决。用折叠法所得的图案正是2002年在北京召开的数学学大会的徽标。
推广结论：在一般直角三角形中，以两直角边为边的正方形的面积等于以斜边为边的正方形的面积；即在直角三角形中，两直角边的平方等于斜边的平方；与字母相结合，数形结合，得出命题。
（设计意图：进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具有一般性。）
（三）归纳验证，定理命名
猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么＋=
1、 验证命题1
师生行为：教师先要留给学生充分的思考时间，然后多媒体课件演示古人的一些证法
证法一：我国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形。
证法二：我国古代流传于民间的简明而精彩的证法，是用四个全等的直角三角形的斜边围成一个正方形，它们的直角边围成了一个更大的正方形。
证法三：直角三角形两条直角边所在正方形的面积和，等于斜边所在正方形的面积。
2、 介绍“定理”的概念，并结合以前学过的具体例子，对定理、公理的概念加以说明。
3、 命名“勾股定理”，介绍“勾、股、弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形。
4、 介绍古今中外对勾股定理的研究。
（设计意图：了解数学常识，激发对数学的兴趣，进行爱国主义的教育。）
5、 勾股定理的证明的方法还有很多，我们可以继续在课外的时间再阅读教材80面的阅读与思考，从更多的方面了解勾股定理的证明方法。还可参见课堂作业34面的第19题。
6、 布置任务：下次课交流展示，看谁了解的勾股定理的证明方法多。
（四）解析、应用与拓展
例1 在△ABC中，∠C=900，∠A，∠B，∠C所对的边分别是。
（1），求； （2）求；
（3）求； （4），求。
分析：（1）开始时要列出基本式子，变形后得，再计算。
（2）（3）小题目由学生完成；（4）利用方程的思想方法解决。
解：（1）∵∴
∴
（2）（3）略
（4）设 ，得 =15
解得，，所以
学生领悟了勾股定理的奥妙，便想小试身手了。于是给出了以下题目：
1、求下列用字母表示的边长
2、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为10cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长
（设计意图：以上两题难度值较小，可以让大部分的学生体验到成功的喜悦。同时体现了方程思想及利用面积法解题的思路。）
（五）课堂小结
1、这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、本节课我们经历了怎样的过程？
七、作业设计
1、必做题：课本P77习题18.1第一题，P78第2题。
2、选做题：（1）课本P80 阅读与思考，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
八、 设计说明
根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：创设情境导入新课—动手操作探究新知—证明结论得到定理—应用知识回归生活—总结反思—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
“勾股定理”是在学生的动手、动口、动脑中产生的，有一种“水到渠成”的效果。在这里，学生成了学习的主体，教师只是引路者。体现学生学习的主体性、主动性原则。
在学生推导出“勾股定理”后，又让学生通过动手作图，检验其正确性，使学生感到自己“发现”的定理是正确的。
在对“勾股定理”的应用中，首先分析了其中的数量关系，了解应用“勾股定理”的条件和方法，然后用例题、习题加以巩固，使学生牢固掌握。待这一切完成后，又回到引例提出的问题中，达到了“首尾呼应”的效果，并且对“勾股定理”的应用有了加深。
课后小结是对本节课知识点的回顾与总结。作业分三部分：第一部分让学生加强课外阅读，拓展知识面；第二部分是“勾股定理”在相关计算中的应用；第三部分是一道趣味剪纸题，一方面加强对“勾股定理”的理解应用，另一方面又提高了学生兴趣，并且加强了学生对数学知识的应用意识。
“因为快乐，所以学习”。在教学中，多让学生主动参与，多联系学生感兴趣的事，就会取得很好的教学效果。
b
2
1
x
17
15
天台三合中学 王卫约
一、教材分析
勾股定理”这节内容主要讲述了直角三角形三边间的一种关系定理。它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。同时，也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识。更重要的是，纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何间的桥梁。勾股定理是几何中一颗美丽的奇葩，可谓家喻户晓。它在数学理论体系中的地位举足轻重，在日常生活、工农业生产中，应用极为广泛。从学生的角度来看，对勾股定理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。同时还能对学生进行爱国主义教育！
二、教学目标
1、知识目标
（1）能说出勾股定理的内容
（2）会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（3）经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2、能力目标
（1）经历不同的验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
（2）在探索勾股定理的过程中，让学生体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
3、德育目标
（1）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，增强对数学学习的兴趣。
（2）通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
三、教学重点和难点
教学重点：勾股定理
教学难点：通过探索得出勾股定理并掌握勾股定理。
四、教学方法： 动手演示、拼图、归纳、猜想。
五、教学手段：多媒体辅助教学。
六、教学设计过程
(1) 、创设情景，导入新课。
人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
2002年在北京召开了第24届国际数学大会，曾被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案（展示图案）。这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。你见过这图案吗？你听说过“勾股定理”吗？
勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。
（二）实验操作，探求新知
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
a b
情 境：毕达哥拉斯从朋友家的地砖中发现了什么？
问题1：你能发现图中等腰直角三角形ABC三边有什么关系吗？
问题2：等腰直角三角形都有上述性质吗？
观察a图，并回答问题：
(1)观察图1。
正方形A中含有＿＿＿个小方格，即A的面积是＿＿＿个单位面积；
正方形B中含有＿＿＿个小方格，即B的面积是＿＿＿个单位面积；
正方形C中含有＿＿＿个小方格，即C的面积是＿＿＿个单位面积；
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到结果的？与同伴交流。
(3)请将结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1
图2
图3
师生行为：对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论。
（设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。）
活动3：
小组合作探究：等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也有这个性质吗？如b图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C的面积，填入表中，看看能得出什么结论。
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1
图2
师生行为：让学生让算正方形A、B、C的面积，但正方形C的面积不易求出，可以让学生在预先准备好的方格纸上画出图形，发现求正方形C的面积的方法。这个活动中计算以斜边为边长的正方形的面积有一定难度，可以通过折纸法、分割法等以解决。用折叠法所得的图案正是2002年在北京召开的数学学大会的徽标。
推广结论：在一般直角三角形中，以两直角边为边的正方形的面积等于以斜边为边的正方形的面积；即在直角三角形中，两直角边的平方等于斜边的平方；与字母相结合，数形结合，得出命题。
（设计意图：进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具有一般性。）
（三）归纳验证，定理命名
猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么＋=
1、 验证命题1
师生行为：教师先要留给学生充分的思考时间，然后多媒体课件演示古人的一些证法
证法一：我国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形。
证法二：我国古代流传于民间的简明而精彩的证法，是用四个全等的直角三角形的斜边围成一个正方形，它们的直角边围成了一个更大的正方形。
证法三：直角三角形两条直角边所在正方形的面积和，等于斜边所在正方形的面积。
2、 介绍“定理”的概念，并结合以前学过的具体例子，对定理、公理的概念加以说明。
3、 命名“勾股定理”，介绍“勾、股、弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形。
4、 介绍古今中外对勾股定理的研究。
（设计意图：了解数学常识，激发对数学的兴趣，进行爱国主义的教育。）
5、 勾股定理的证明的方法还有很多，我们可以继续在课外的时间再阅读教材80面的阅读与思考，从更多的方面了解勾股定理的证明方法。还可参见课堂作业34面的第19题。
6、 布置任务：下次课交流展示，看谁了解的勾股定理的证明方法多。
（四）解析、应用与拓展
例1 在△ABC中，∠C=900，∠A，∠B，∠C所对的边分别是。
（1），求； （2）求；
（3）求； （4），求。
分析：（1）开始时要列出基本式子，变形后得，再计算。
（2）（3）小题目由学生完成；（4）利用方程的思想方法解决。
解：（1）∵∴
∴
（2）（3）略
（4）设 ，得 =15
解得，，所以
学生领悟了勾股定理的奥妙，便想小试身手了。于是给出了以下题目：
1、求下列用字母表示的边长
2、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为10cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长
（设计意图：以上两题难度值较小，可以让大部分的学生体验到成功的喜悦。同时体现了方程思想及利用面积法解题的思路。）
（五）课堂小结
1、这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、本节课我们经历了怎样的过程？
七、作业设计
1、必做题：课本P77习题18.1第一题，P78第2题。
2、选做题：（1）课本P80 阅读与思考，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
八、 设计说明
根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：创设情境导入新课—动手操作探究新知—证明结论得到定理—应用知识回归生活—总结反思—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
“勾股定理”是在学生的动手、动口、动脑中产生的，有一种“水到渠成”的效果。在这里，学生成了学习的主体，教师只是引路者。体现学生学习的主体性、主动性原则。
在学生推导出“勾股定理”后，又让学生通过动手作图，检验其正确性，使学生感到自己“发现”的定理是正确的。
在对“勾股定理”的应用中，首先分析了其中的数量关系，了解应用“勾股定理”的条件和方法，然后用例题、习题加以巩固，使学生牢固掌握。待这一切完成后，又回到引例提出的问题中，达到了“首尾呼应”的效果，并且对“勾股定理”的应用有了加深。
课后小结是对本节课知识点的回顾与总结。作业分三部分：第一部分让学生加强课外阅读，拓展知识面；第二部分是“勾股定理”在相关计算中的应用；第三部分是一道趣味剪纸题，一方面加强对“勾股定理”的理解应用，另一方面又提高了学生兴趣，并且加强了学生对数学知识的应用意识。
“因为快乐，所以学习”。在教学中，多让学生主动参与，多联系学生感兴趣的事，就会取得很好的教学效果。
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