勾股定理（全章教案）[下学期]

第十八章 勾股定理总体设计
一、课程学习目标
1．体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题．
2．会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形．
3．通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
二、本章知识结构框图
三、内容安排
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30。的角所对的直角边等于斜边的一半．本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质．本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理．
在第－节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．从而发现勾股定理．
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠．没有空隙，面积不会改变．在教科书中，图18．1—3(1)中的图形经过割扑拼接后得到图18．1—3(3)中的图形，由此就证明了勾股定理．通过推理证明了命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理．
由勾股定理可知．已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知．已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长．也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长．就可以求出第三条边的长．教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题．
在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形。可以发现画出的三角形是直角三角形．从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方。那么这个三角形是直角三角形．这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法．本节结合勾股定理的逆定理的内容展开，介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立．为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题．
四、课时安排
本章教学时间约需7课时，具体安排如下：
18．1勾股定理 3课时
18．2勾股定理的逆定理 3课时
数学活动
小结 1课时
五、学法教法建议
(一)让学生体验勾股定理的探索和运用过程
(二)结合具体例子介绍抽象概念
(三)注重介绍数学文化
1 8．1 勾股定理(1)
教学目标
（1）经历探索和验证勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想．
（2）了解利用拼图验证勾股定理的方法，并利用两边求直角三角形另一边的长．
（3）了解定理的概念．
（4）对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的情感，激励学生发奋学习．
教学重点与难点
重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形另一边的长．
难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形另一边的长．
教学过程
1、创设情境，导入新课
（1）用多媒体播放(或学生口述)“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说． ’
（2）引导学生观察课本第72页的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么
2、实验操作，探求新知
①多媒体课件演示或引导学生观察课本第72页图18.1—1， 思考：
(1)你会用什么方法求出图形中三个正方形的面积
(2)以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么样的关系
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系(课本第73页)．
②组织学生小组合作学习，思考：如果是其他一般的直角三角形，它的三边之间是否也具备这种特殊的关系呢 (按课本第73页图18．1—2)
(1)计算正方形的面积．
(2)探究A+B与C，A’+B’与C’的关系．
结果：对于一般的以整数为边长的直角三角形，也有两直角边的平方和等于斜边的平方．
3、归纳验证。定理命名
①猜想：命题1(课本第73页)．
②验证命题l(介绍古人赵爽的证法)：
(1)多媒体课件或自制教具演示．
(2)小组合作探究：利用学具拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．
③介绍“定理”的概念，并结合以前学过的具体例子，对定理、公理的概念加以说明．
④命名“勾股定理”，介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形．
⑤介绍古今中外对勾股定理自勺研究，进行爱国主义教育．
4、解析、应用与拓展
5、小结
（1）本节课学到了什么数学知识
（2）你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗
（3）你还有什么困惑
6、作业设计
①：课本第77页习题18．1第1题，第78页第2题．
②选做题： (1)课本第80页：阅读与思考．
(2)课本第86页：活动1．
1 8．1 勾股定理(2)
教学目标
（1）能用自己的语言叙述勾股定理的内容，能运用勾股定理解决简单的实际问题．
（2）通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增强如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受．
（3）在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯及运用数学的信心的能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点与难点
重点：运用勾股定理解决简单的实际问题．
难点：勾股定理的简单应用．
教学过程
1、创设情境，导入新课
②动手实践，活动导人．
(1)(投影下图)要求学生仿照投影图在方格纸上画出图形(注：格点三角形边的长度由学生自主确定)．
(2)观察所画图形，用计算正方形面积的方法判断图中
两个三角形的三边长是否满足：a2 ＋b2＝c2？
总结：锐角三角形、钝角三角形的三边盘，6，c不满足勾股定理，因此勾股定理是直角三角形所特有的性质．
2、探求新知。建立模型
①实际应用举例．
(1)课本第74页的“探究1”
处理方式：采用“合作探究”的教学方式组织教学．先让学生根据生活经验，说说木板通常是怎么进门的 (也可以制作教具，让学生亲手操作)然后组织讨论，通过讨论达成共识，让学生经历和体验如何将实际问题抽象成数学问题进而得以解决．在这个探究过程中，要求学生在独立思考的基础上进行合作交流，然后小组汇报．
古代笑话一则：有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题．
(2)如右图，某人欲横渡一条江，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B有200 m，结果他在水中实际游了520 m，求这条江的宽度．
选择学生熟悉的例子，让学生在应用中深化对勾股定理的理解．
②数学应用举例(已知直角三角形任两边求第三边)．
3、拓展应用。巩固提高
（1）课本第76页练习第1题．
（2）课本第76页练习第2题．
4、回顾与反思
让学生畅所欲言话收获，发现自己在学习过程中存在的问题，教师进行补充．
5、作业设计
①：课本第78页习题18．1第3，4，5题．
② (1)课本第88页复习题18第2，8题．
(2)已知，在Rt△ABC中，∠C＝90。，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a：b＝3：4，c＝15，求b．
1 8．1 勾股定理(3)
教学目标
(1)能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
(2)通过例题的分析与解决，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用．
(3)在勾股定理建模过程中，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力．
(4)在数学学习过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点与难点
重点：运用勾股定理解决实际问题．
难点：勾股定理的灵活应用．
教学过程
1、创设情境。提出问题
前面我们结合实际问题，讨论了勾股定理的简单应用，本节课我们继续探究如何用勾股定理解决实际问题
课本第75页“探究2”．
2、探索分析。解决问题
组织学生思考、讨论：
(1)根据生活经验，梯子底端B外移多少必须知道哪两个量
(2)在梯子滑动的过程中谁是常量 谁是变量
引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一个直角三角形的两边，如何求第三边 ”的问题．
引导学生探寻解题思路，提高分析问题的能力，这是完成数学建模的关键．
学生独立完成课本第75页填空补缺并注意近似值的计算要求．
3、拓展探索，比较分析
问题1：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3 m，消防队员取来6．5 m长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是2．5 m，请问消防队员能否进入三楼灭火
还是梯子问题，只是更换了背景，但问题的本质并没有发生变化．
组织学生讨论后，让学生明白：解决实际问题要考虑到它的现实性，即：消防队员有一定的身高，所以要进入三楼窗户来灭火，云梯最低需架到二楼楼顶，也就是离地面6 m处． 让学生认识到积累生活经验的重要性．
学生画图，标上字母，规范解题．
问题2：
如右图，在△ABC中，∠ACB＝90。，
CD⊥AB，垂足为D．若∠B＝30°，AC＝6，
求高CD和△ABC的面积．
分析：(1)该题解题方法不惟一． ‘
(2)综合运用勾股定理及特殊直角三角形的性质．
(3)高CD既可由勾股定理求得，也可以由面积相等求得．(如：S△ABC=BC·AC=AB·CD，得到BC·AC= AB·CD从而求得CD的长)
4、课堂练习，反馈调控
①出示课本第77页练习第2题．
先让学生独立完成，然后师生共同分析，问题解决之后，继而引导学生思考：
如果等边三角形的边长是a，你能用含a的代数式来表示高AD的长和这个三角形的面积吗
引导学生得出几个基本图形中的常用结论：
②一个三角形储物罐的盖子如右图所示，边AB，AC长为10 cm，若作出△ABC的高AD，量得BD的长为6 cm，那么此储物罐的盖子会不会掉入这个储物罐中(罐口直径为BC)
(提示：解得AD=8 cm，AC>AD，故储物罐的盖子会掉入这个储物罐中)
5、小结
组织学生完成．
师：本节课你有哪些收获或感受
(学生思考后用自己的语言回答出本节课的所思所感．根据学生的回答，教师给以恰当的评价)
6、作业设计
①：课本第78页习题18．1第7，8，9题．
②：(1)课本第78页习题18．1第10题．
(2)课本第89页复习题18第9题．
1 8．1 勾股定理(4)
教学目标
掌握勾股定理，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想．
通过学生实践操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决问题的能力．
体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值．
教学重点与难点
重点：运用勾股定理解决数学和实际问题．
难点：勾股定理的应用．
教学过程
1、创设情境。提出问题
如右图：一张美丽的海螺图案．
设问1：同学们，你们知道吗 在数学中也有这样一幅美丽的“螺形”图案呢!(现课
本第77页图18．1—7)，学生欣赏“数学海螺(螺形图)”．
设问2：它是怎样画出来的 是依据什么数学知识来画的 与同伴交流你的看法．
2、探索分析。解决问题
通过观察、讨论发现：
画图的依据：勾股定理．
画图的方法：先构造出边长为1的等腰直角三角形，并以前一个三角形的斜边和长度为1的线段为直角边向外画直角三角形，这样就可以依次画出长度为(n是正整数)的线段．
设问3：如果我们将最初的等腰直角三角形画在数轴上(以数轴的单位l为直角边长)，你能有什么新的发现
学生尝试画图，教师巡回指导，或参与小组讨论．
讨论结果：可以在数轴上画出表示的点，参照画“数学贝壳”的方法，可以在数轴上画出表示 (n是正整数)的点．
设问4：你能找到，，，…，在数轴上的简便画法吗？
学生小组讨论，发现：
建议：教师板演在数轴上画出相应的点的画图过程．
3、巩固新知，反馈调控
画一画：课本第77页练习第l题．
4、深入探究，提出问题
问题：如右图所示，有一个圆柱，它的高12 cm，底面半径3 cm．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少 (丌的值取3)
5、解决问题
①自己用图画纸做一个圆柱，独立尝试A点到B点沿圆柱侧
面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢
分组讨论交流，寻找最佳路线．
建议：学生可能有如下图所示4种方案．
②将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么 你画对了吗
建议：学生寻找最短路线可能有两种方法，即通过计算或根据“两点之间，线段最短”这个结论．
比较后发现用“结论”更直观，一目了然．
③求最短路线，实质上是解决什么数学问题 请根据已知条件求出这个最短路线．
完成实际问题向数学问题的转化过程．
6、小结
（1）直角三角形的边、角之间分别存在着什么样的关系
（2）通过本节课的学习你对勾股定理有了哪些更深刻的认识 用语言表述出来．
7、作业设计
①：(1)课本第78页习题18．1第6，12题；课本第89页复习题18第7，8题．
(2)请你举一个生活中的实例，并运用勾股定理解决它．
②：课本第78页习题18．1第11，13题．
1 8．2勾股定理的逆定理(1)
教学目标
（1）在情境中理解“古埃及人得到直角”的方法．
（2）经历探究“如何得到一个直角三角形”的过程，体会命题2与命题1的互逆关系．
（3）初步了解互逆命题的概念及内涵．
（4）能积极地参与探究活动，并与他人合作．
教学重点与难点
重点：探究“如何得到—个直角三角形”．
难点：学生通过画三角形进行探究的活动．
教学过程
1、创设情境，提出问题
①多媒体演示古埃及人得到直角的过程
把～根长绳打上等距离的13个结，然后把第一个结与第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第4个结与第8个结钉牢(拉直)如下图：
②提问：
(1)第4个结处的角是什么角？．
(2)在其他结点钉木桩，还能得到类似的结果吗
(3)这其中包含了什么数学道理
③提出课题及本课时的学习任务．
2、探索一般性的结论
①学生用棉线模仿古埃及人的方法，用打结的方法得到直角． ‘
(1)完全模仿课本—一在棉线上作上等距离的13个记号，并在第1、4、8个记号处用图钉钉牢，把第13个记号与第1个记号钉在一起，并观察思考，引入所提出的问题．
(2)不完全模仿，能得到直角吗 如可以改变打结的个数，图钉钉在其他结点处等等．
②初步归纳发现的结果
如果围成三角形的三边分别是3、4、5，那么围成的三角形是直角三角形．(如果三边长是2、5、5，那么就不能围成直角三角形)
与勾股定理类似，3、4、5之间存在32+42＝52的关系，2、5、5之间不存在类似关系．
③通过画三角形，进一步探究
下面几组数分别是一个三角形的三边长a，b，c(单位：cm)．
2．5，6，6．5； 4，7．5，8．5； 6，8，10．
(1)这三组数都满足以a2 ＋b2＝c2吗
(2)分别以每组数为三边长作出三角形．
(3)用量角器量一量，它们是直角三角形吗
④提出猜想
根据上面的几个例子，你能提出一个数学命题吗
猜想：命题2，如果三角形的三边长a，b，c满足a2 ＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
⑤原命题与逆命题
命题2与上节的命题l的题设、结论正好相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设．我们把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
(1)教师举例
如：“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”“如果天空在下雨，那么地面是湿的”与“如果地面是湿的”与“那么天空在下雨”．
(2)你能举出“互逆命题”的例子吗
(3)如果原命题正确，那么逆命题也正确吗
3、巩固练习
课本第84页练习第1，2题．
4、小结
①本节课所学的主要内容：
(1)通过多种活动得到_三个猜想(命题2)；(2)互逆命题．
②通过这一节课的学习活动，你还有其他哪些收获 存在什么疑问
5、作业设计
（1）：课本第84页习题18．2第1，2题．
（2）：在一根长为24个单位的绳子上，分别标出A、B、C、D四个点．它们将绳子分成长为6个单位、8个单位和10个单位的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点)，两名同伴分别握住B点和C点，一起把绳子拉直，会得到一个什么形状的三角形 为什么
1 8．2勾股定理的逆定理(2)
教学目标
（1）进一步经历探究并证明勾股定理的逆定理的过程．
（2）理解勾股定理的逆定理．
（3）了解互逆命题的概念．
（4）培养学生严谨的学习态度和治学精神．
教学重点与难点
重点：证明勾股定理的逆定理．
难点：逆定理的证明过程．
教学过程
1、情境引入 。 ’
（1）复习回顾：上节课的猜想；
命题2，如果三角形的三边长a，b，c满足a2 ＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
已证明的命题1(勾股定理)
（2）命题2是命题1的逆命题，我们已经证明命题1正确，能证明命题2正确吗
（3）提出本课时的学习任务：证明命题2及相关的应用．
2、探究新知
（1）提出问题
教师出示事先画好的△ABC，其中a＝3 cm，b＝4 cm，c=5 cm．
在△ABC的各边之中明显存在a2 ＋b2＝c2的关系，按上节课的猜想(命题2)，△ABC应该是直角三角形，那么我们如何证明呢
（2）解决问题的策略——利用三角形全等来证明
要直接证明某个角是直角有一定难度，可以考虑采用其他策略，如利用我们较为熟悉的三角形全等来证明．
我们可以先画一个△A’B’C’，使∠C’＝90°，B’C’=3，A’C’＝4(如上图)．
假如△ABC与△A’B’C’完全重合(全等)的话，能不能说明△ABC是直角三角形呢
（3）学生尝试去解决问题(可以向学生提供以下方法)
方法一：把△ABC与△A’B’C’剪下，重叠，然后观察是否能重合．
方法二：用推理论证的方法来证明两三角形是全等的．
问：若△ABC的三边不是3，4，5，而是a，b，c，但同样满足a2 ＋b2＝c2，你能证明△ABC是直角三角形吗
(5)得到结论：
也就是说，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的．我们把它称为勾股定理的逆定理．如果三角形的三边长a，b，c满足a2 ＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
(6)学生简单回顾逆定理得到的过程
“古埃及人得到直角的方法”一“画图(操作)验证”一“得到猜想”一“通过证明，得到定理”．
（7）相关概念(互为逆定理)
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理“互为逆定理”．相关的例子吗
（8）应用新知
例l判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．
a＝15，b＝8，c＝17； a＝13，b＝14，c＝15
①学生尝试去解决．
②教师分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是不是等于最大边长的平方．
③选择两位学生板演．
④讲评学生板演情况，并指出：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
⑤学生举例：说出一些勾股数．
3、巩固练习
（1）课本第84页练习第1题．
（2）举出两对互为逆定理的命题．
4、小结
通过这节课的学习，你有什么收获 你还有什么困惑
5、作业设计
（1）：课本第84页习题18．2第3，4题．
（2）：课本第85页习题18．2第6题．
8．2 勾股定理的逆定理(3)
教学目标
（1）进一步理解勾股定理的逆定理．
（2）会用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
（3）培养学生解决实际问题的能力，提高数学应用的意识．
（4）在解决问题的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．
教学重点与难点
重点：例1的教学．
难点：例l中“海天”号轮船航线的估计，补充对例题的解题思路的寻找．
教学过程
1、温故知新
（1）我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗
（2）你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题
（3）提出课题．
2、例题教学
例l例题见课本第83页例2．
(1)学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题．
(2)你能根据题意画出相关图形吗
(在学生都尝试画了以后，教师再在黑板上或多媒体中画出示意图)
假设港口为P，以P为中心画出方位角示意图，可以较快得到远航号的航线为PQ(东北方向)，假设一个半小时后，远航号所处位置为Q
“海天”号大概会朝哪个方向航行呢 会向西南方向航行吗
在学生对上述问题思考后画出“海天”号的大致航线(如下图)．
(3)把实际问题转化为数学问题，分析已知条件，寻求解决问题的策略．
在上图中，连接RQ，就会得到△PQR，已知RQ＝30海里，可以求出PQ与PR的长，利用勾股定理的逆定理可以求出么RPQ为直角，从而可以进一步求出“海天”号的航向．
(4)学生尝试解题
(5)同学之间的交流、检查、小结，教师最后点评．
例2(把例题和图形印发给学生)
一个零件的形状如下图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，且∠DAB＝90°，你能求出这个零件的面积吗
教学环节设计如下：
(1)学生读题，理解题意，把有关数据标注在图上．
(2)你以前会求哪些几何图形的面积
(3)对于不规则的图形，你会用什么方法求面积
(4)由已知条件出发，你能得到什么结论
这个问题主要是让学生通过观察么∠A＝90°，AB＝3，AD＝4去发现：若连接BD，就会得到Rt△ABD，并且可以利用勾股定理求出BD的长；进一步，再由BD＝5，BC＝12，CD＝13，联想到“勾股数”，确定∠DBC＝90° (如下图)．
从而确定出本题求面积的策略：先连接BD，说明△DBC也是一个直角三角形，所以S四边形ABCD＝SRt△ABD+SRt△ABD
(5)你能求出这个四边形的面积了吗 …
一名学生板演解题过程．
(6)师生共同点评与小结．
3、巩固练习
课本第84页练习第3题．
4、小结
通过这节课的学习，你有什么收获
5、作业设计
（1）：课本第85页习题18．2第5题．
（2）：已知：如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，AB＝BC＝4，CD＝5．求梯形ABCD的面积．
PAGE
14