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人教版2022-2023学年九上数学第二十一章 一元二次方程 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7
C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7
【答案】B
【解析】∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
则x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7.
故答案为：B.
2．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【解析】∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2022，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021.
故答案为：C.
3．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的值可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
【答案】D
【解析】∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，
∴△=（-4）2-4m＜0，
∴m＞4，
∴m的值可能是5.
故答案为：D.
4．方程的根为（ ）
A．2 B．，
C．， D．
【答案】B
【解析】，
移项得，
因式分解得，即，
∴x+1=0或x-2=0，
解得：=-1，=2．
故答案为：B．
5．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【解析】由题意可知：，
∴，
故答案为：B．
6．已知3是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故答案为：D．
7．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】当k=0时，x-1=0，解得：x=1；
当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，
∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0，
解得且k≠0，
综上：k的取值范围是，
故答案为：A．
8．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
9．已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
【答案】C
【解析】先将原方程变形为 ，这是一个以 为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.
当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得 =-2
②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0.
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2.
10．下列说法：
若一元二次方程
有一个根是
，则代数式
的值是
若
，则
是一元二次方程
的一个根
若
，则一元二次方程
有不相等的两个实数根
当m取整数
或1时，关于x的一元二次方程
与
的解都是整数.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；
②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，正确；
④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-
；
∴-
≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.
故m=1，故不符合题意；
故正确的有2个，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝ ．
【答案】﹣2024
【解析】∵a为x2+x﹣2021＝0的根，
∴a2+a﹣2021＝0，
即a2＝﹣a+2021，
∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，
∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），
∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．
故答案为：-2024.
12．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为
【答案】
【解析】∵x1＋x2＝4，
∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入得：（）2－4×＋m＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
13．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，，
当2为腰，4为底时，不能构成三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
如下图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2，AD为底边上的高，
∴BD=1，
∴，
∴，
故答案为：．
14．若关于x一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 ．
【答案】-1
【解析】根据题意得，
，
解得m=-1．
故答案为：-1．
15．一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
【答案】-3
【解析】设方程的另一根为，则，
解得，．
故答案为：-3.
16．关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ．
【答案】-2
【解析】方程为一元二次方程，
，
．
将代入，得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：-2.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用指定的方法解方程
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（因式分解法）
（4）（公式法）
【答案】解：∵，∴，∴，∴，；（配方法）【答案】解：∵，∴，∴，∴，∴，；（因式分解法）【答案】解：∵，∴，∴，∴或，∴，；（公式法）【答案】解：∵，，，∴，∴，∴，．
（1）解：∵，∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【答案】（1）解：∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤
（2）解：∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤ ，∴k＝－3.
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣ax+a﹣1＝0，
x＝，
∴x1＝1，x2＝a﹣1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a﹣1＞3，
解得a＞4，
即a的取值范围为a＞4．
20．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）解：由题意可知：，且m≠0，
解得m≤且m≠0；
（2）解：由题意可知：=，=1，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得m=或m=-1．
经检验，m=、m=-1都是方程的根，
∴m的值为或-1．
21．已知方程的两个根分别为和，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=，
由题意知：，代入上式得：
．
（2）解：
=，
=，
∵，
∴，
∴．
22．疫情肆虐，万众一心。由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】（1）解：设每天的增长率为x
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%
（2）解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天，
依题意，得（1+m）（900-30m）=3900，
解得：m1＝4，m2＝25
又∵增加产能同时又要节省投入，
∴m=4.
答：应增加4条生产线
23．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费.如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨 元交费.
（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）.
（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
9月份 85 25
10月份 50 10
根据上表数据，求该x吨是多少？
【答案】（1）
（2）解：根据表格提供的数据，可以知道 ，根据9月份用水情况可以列出方程：
解得，
因为 ，所以
该水厂规定的x吨是60吨.
【解析】（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费 元；
【分析】（1）由题意得超过的用水量为（80-x）吨， 超过那部分按每吨 元交费 ，由此可得 超过部分应交水费 ；
（2） 根据题意和表格提供的数据，可以知道 ， 根据9月份用水情况及题意和（1）可以列出一元二次方程 ，解之即得 该x吨是多少 .
24．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进2011年的月工资为多少
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
【答案】（1）设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x,则
2000（1＋x）2＝2420．
解得，x1＝－2.1,x2＝0.1,(2分)x1＝－2.1与题意不合，舍去.
∴尹进2011年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元.
（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本.设乙工具书单价为n元，第一次选购z本.则由题意，可列方程:m＋n＝242，①
ny＋mz＝2662，②
my＋nz＝2662－242．③
由②＋③，整理得，（m＋n）（y＋z）＝2×2662－242
由①,∴242（y＋z）＝2×2662－242，∴ y＋z＝22－1＝21．
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本.
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022-2023学年九上数学第二十一章 一元二次方程 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7
C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7
2．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
3．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的值可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
4．方程的根为（ ）
A．2 B．，
C．， D．
5．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．已知3是关于x的方程x2－（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
7．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．
8．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
10．下列说法：
若一元二次方程
有一个根是
，则代数式
的值是
若
，则
是一元二次方程
的一个根
若
，则一元二次方程
有不相等的两个实数根
当m取整数
或1时，关于x的一元二次方程
与
的解都是整数.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝ ．
12．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为
13．已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
14．若关于x一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 ．
15．一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
16．关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用指定的方法解方程
（1）（直接开平方法） （2）（配方法）
（3）（因式分解法） （4）（公式法）
18．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
21．已知方程的两个根分别为和，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
22．疫情肆虐，万众一心。由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
23．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费.如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨 元交费.
（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的x吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）.
（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
9月份 85 25
10月份 50 10
根据上表数据，求该x吨是多少？
24．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进2011年的月工资为多少
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
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