中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022-2023学年九上数学第二十三章 旋转 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列美丽图案是中心对称不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停．延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形菱形正方形矩形
C．平行四边形正方形平行四边形矩形 D．平行四边形正方形菱形矩形
（第2题） （第3题） （第5题） （第6题）
3．如图，中，，，将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
5．如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形，DB的延长线交EF于点H，则的大小为（ ）
A．76 B．97 C．90 D．114
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图，△ABC中，∠C=84°，∠CBA=56°，将△ABC挠点B旋转到△DBE，使得DE//AB，则∠EBC的度数为（ ）
A．28° B．40° C．42° D．50°
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点是中点，点是中点，连接，若，则线段的最大值是( )
A． B．6 C．4 D．3
9．如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
（第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
12．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
13．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）绕点（0，2）顺时针旋转90°后的点的坐标是 ．
14．如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．已知 ，以 为一边作正方形 ，使 两点落在直线 的两侧.则 最大时 的大小是 .
16．如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边BC中点，连结AD、EF．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）判断AD与EF有怎样的数量关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
20．如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．若将绕点逆时针旋转90°后，得到．
（1）求的长；
（2）∠BPC度数．
21．如图，在中，，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．
（1）求的度数；
（2）若，且，求DF的长．
22．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下：
解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，
CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°，
∴∠CBD＝∠CEA．
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BECB．
又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB，
∴BD＋ABCB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．
（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．
23．探究题∶
（1）特殊情景：如图（1），在四边形ABCD中，AB=AD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=∠BAD，连接EF，若∠BAD=∠B=∠D=90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由
（2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α ， ∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．
（3）解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=，计算DE的长度．
24．如图：
如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①的度数是 ；
②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，，，，若点满足，，请直接写出线段AD的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022-2023学年九上数学第二十三章 旋转 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列美丽图案是中心对称不是轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称.
2．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停．延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形菱形平行四边形矩形
B．平行四边形菱形正方形矩形
C．平行四边形正方形平行四边形矩形
D．平行四边形正方形菱形矩形
【答案】A
【解析】观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形．
故答案为：A．
3．如图，中，，，将绕点旋转逆时针旋转度后得到，点恰好落在上，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】，，
，
将△ABC绕点A旋转逆时针旋转度后得到△ADE，点E恰好落在BC上，
，，
，
，
故答案为：A．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】A
【解析】点关于原点的对称点为，
，
点关于轴的对称点为，
，
．
故答案为：A.
5．如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得到正方形，DB的延长线交EF于点H，则的大小为（ ）
A．76 B．97 C．90 D．114
【答案】B
【解析】根据旋转的性质，得∠BAE=38°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=45°，∠ABH=135°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠E=90°，
∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°，
故答案为：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，
∵AD∥CE，
∴∠DAE=∠AEC=50°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=50°，
∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，
故答案为：C．
7．如图，△ABC中，∠C=84°，∠CBA=56°，将△ABC挠点B旋转到△DBE，使得DE//AB，则∠EBC的度数为（ ）
A．28° B．40° C．42° D．50°
【答案】B
【解析】∵△ABC中，∠C=84°，∠CBA=56°，
∴∠A=180°-∠C -∠CBA=40°，
由旋转可知，∠D=∠A=40°，∠EBC=∠DBA，
∵DE//AB，
∴∠D=∠DBA=40°，
∴∠EBC=∠DBA=40°，
故答案为：B
8．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点是中点，点是中点，连接，若，则线段的最大值是( )
A． B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】∵，
∴
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∵是中点，点是中点，
∴
在△CMN中，，即
∴当M、C、N三点共线时，最大
故答案为：B．
9．如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵点的坐标为，
∴，
由正方形的性质，得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
由题，可知旋转为每8次一个循环，，
∴第2020次旋转结束时，点与点关于原点对称，
∴，
故答案为：D．
10．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．45° C．105° D．55°
【答案】C
【解析】连接DE，如图：
∵是等边三角形，
∴AB=AC，
∴
由旋转可得，
∴
∴，即
∴是等边三角形，
∴DE=AD=3，
∵DE＝3，CE＝3，CD＝，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：C
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
【答案】
【解析】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n-1）= cm2．
12．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
【答案】
【解析】 与 关于点C成中心对称
故答案为： .
13．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）绕点（0，2）顺时针旋转90°后的点的坐标是 ．
【答案】（1，4）
【解析】如图所示：AB即为线段BC绕点B顺时针旋转90°后得到线段，
则AB＝BC，
过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥y轴于D，则∠CEB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
而∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBD＝∠BAD，
在△CBE与△BAD中，
，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴BD＝CE，AD＝BE，
∵C（﹣2，3），B（0，2），
∴CE＝2，OB＝2，OE＝3，
∴AD＝3﹣2＝1，OD＝OB+BD＝2+2＝4．
则点A的坐标为：（1，4）．
故答案为：（1，4）．
14．如图，坐标原点O为菱形ABCD的中心，AD∥x轴，A点坐标为（﹣4，3），则B点坐标为 ．
【答案】（﹣，﹣3）
【解析】如图，连接OA，OD，
∵菱形ABCD的对称中心为坐标原点，
∴OA⊥OD，
设AD与y轴交点为E，DE＝x，则AD＝4+x，
在Rt△ODE中，OD2＝OE2+ED2＝32+x2，
在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2＝32+42＝25，
在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
即25+32+x2＝（x+4）2，
解得x＝，
∴点D（，3），
∴点B（﹣，﹣3）.
故答案为：（-，-3）.
15．已知 ，以 为一边作正方形 ，使 两点落在直线 的两侧.则 最大时 的大小是 .
【答案】135°
【解析】将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，△P'AP是等腰直角三角形
∵△P'PB中，P'B＜PP'＋PB，PP'＝ =2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'＋PB＝6，即P'B的最大值为6.
此时∠APB＝180° ∠APP'＝135°.
故答案为：135°.
16．如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为 ．
【答案】或
【解析】如图：
，，
，
点D为AB的中点，
，，
，
点C、D、Q在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在中，，
，
当点Q在DC的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，AQ的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【答案】（1）解：如图1，△DCE即为所求；
（2）解：如图2，△DCE即为所求．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边BC中点，连结AD、EF．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）判断AD与EF有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：AD＝EF，理由如下：
∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△CDE，
∴∠BCE＝60°，BC＝CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC，
∵点F是边BC中点，
∴BC＝2CF，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB，∠ABC＝60°＝∠BCE，
∴AB＝CF，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△FCE（SAS），
∴EF＝AC，
∴AD＝EF．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，连接AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=AC，试判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC ，
∴∠BCE＝60°，BC=EC．
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACE＝30°=∠ACB．
∵AC=AC，
∴△ACB≌△ACE(SAS)，
∴AB=AE；
（2）解：∵△ABC 绕点C顺时针旋转得到△DEC ，
∴AC=DC，AB=ED，
由（1）可知AB=AE，
∴AE=DE，
若AB=AC，则AC=AE，
∴AC=DC=DE=AE，
∴四边形ACDE是菱形．
20．如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．若将绕点逆时针旋转90°后，得到．
（1）求的长；
（2）∠BPC度数．
【答案】（1）解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得，则△PBC≌△P′BA．
∴AP′=PC=1，BP′=BP=，∠PBP′=90°．
连接P P′，
在Rt△BP′P中，
∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，
∴ P P′2=BP′2 + BP2=4，
∴ P P′=2，∠BP′P=45°．
（2）解：在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，
∵，即AP′2 + PP′2 = AP2．
∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．
∴ ∠AP′B=∠BP′P +∠A P′ P =135°．
∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．
21．如图，在中，，，将绕着点A顺时针旋转得到，连接BD，连接CE并延长交BD于点F．
（1）求的度数；
（2）若，且，求DF的长．
【答案】（1）解：由旋转可知：
，，，，
∴，，．
由三角形内角和定理得，
∴点A，D，F，E共圆．
∴．
（2）解：连接EB，
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴，．
∴．
在中，，，，
∵，
∴．
22．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下：
解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，
CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°，
∴∠CBD＝∠CEA．
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BECB．
又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB，
∴BD＋ABCB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明．
（2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论．
【答案】（1）解：AB-BD=CB．
证明：如图（2）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=CB．
（2）BD-AB=CB
【解析】（2）如图（3）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=CB．
23．探究题∶
（1）特殊情景：如图（1），在四边形ABCD中，AB=AD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=∠BAD，连接EF，若∠BAD=∠B=∠D=90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由
（2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α ， ∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．
（3）解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=，计算DE的长度．
【答案】（1）解：BE+DF＝EF，理由如下：如图，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG，
∵四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，∠EAF∠BAD，
∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∠EAF∠BAD＝45°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．
由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG．
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）解：成立．EF＝BE+DF；
证明：设∠BAD＝α，则∠EAFα，如图，将△ABE绕点A顺时针旋转α得到△ADH，
∴∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADH+∠ADC＝180°，
∴点C，D，H在同一直线上．
∵∠BAD＝α，∠EAFα，
∴∠BAE+∠FADα，
∴∠DAH+∠FADα，
∴∠FAH＝∠EAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝FH＝DF+DH＝BE+DF；
（3）解：如图，将△AEC绕点A逆时针旋转90°，得到△A E′B，连接DE′．
∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DA E′＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAE′＝∠DAE，
∵AD＝AD，
∴△A E′D≌△AED（SAS），
∴DE＝D E′，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝3，∠ABC+∠AB E′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2．
∵DE＝DE′，
∴DE2＝BD2+EC2，
即DE2＝（）2+（3DE）2，
解得DE．
24．如图：
如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①的度数是 ；
②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，，，，若点满足，，请直接写出线段AD的长度．
【答案】（1）60°；AC=DC+EC
（2）解：∠ACE=45°，，理由如下：
∵在中，，，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，
，又，
∴；
（3）解：AD=或AD=．
【解析】（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
∴AC=BC=EC+CD；
故答案为60°，AC=DC+EC；
（3）如图，作AE⊥CD于E，连接AD，
∵在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，
∴BC=，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=AC=，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BDC=∠BAC=90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠ADE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∴CE=5 DE，
∵AE2+CE2=AC2，
∴AE2+(5 AE)2=17，
∴AE=1，AE=4，
∴AD=或AD=．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
