中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022-2023学年九上数学第二十一章 一元二次方程 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（ ）
A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25
4．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价从1000元降到了810元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．1000（1﹣2x）＝810 B．1000（1﹣x）2＝810
C．800（1＋2x）＝1000 D．800（1＋x）2＝1000
5．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
6．设，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．a、b、c为常数，且a、c异号，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2-4x+3=0 B．x2+4x-3=0 C．x2+3x+4=0 D．x2+3x-4=0
9．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
10．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．方程x2＝9的解为 ．
12．若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是 .
13．已知是一元二次方程的两个根，则 ．
14．若，则方程的解是 ．
15．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是
16．将配方成的形式，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1） （2）（公式法）
（3） （4）（配方法）
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求m的取值范围.
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值.
19．已知：关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
20．关于x的一元二次方程有两个不等实根、．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根、满足，求k的值．
21．已知关于的方程，
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若是该方程的一个根，求方程的另一个根.
22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）写出一个“勾系一元二次方程” ．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根．
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．
23．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了 瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当 时，每瓶洗手液的价格是 元；当 时，每瓶洗手液的价格是 元；当 时，每瓶洗衣手液的价格为 元（用含 的式子表示）；
（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？
24．定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，分别以 为横坐标和纵坐标得到点M ，则称点M为该一元二次方程的衍生点
（1）若一元二次方程为 ，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为
（2）若关于x的一元二次方程为
①求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线 ：y＝x+5与x轴交于点A，直线 过点B(1，0)，且 与 相交于点C( 1，4)，若由①得到的点M在 的内部，求 的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 的行生点M始终在直线 的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2022-2023学年九上数学第二十一章 一元二次方程 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．
【答案】B
【解析】∵ 关于的一元二次方程的一个根是0，
∴a-1≠0，a2-1=0
解之：a≠1，a=±1，
∴a=-1.
故答案为：B.
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】由数轴得m＞0，n＜0，m+n＜0，
∴mn＜0，
∴Δ＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
3．一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（ ）
A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25
【答案】B
【解析】第一次降价后的价格为25（1﹣x），
第二次降价后的价格为25（1﹣x）×（1﹣x）＝25×（1﹣x）2，
∴列的方程为25（1﹣x）2＝16.
故答案为：B.
4．某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部售价从1000元降到了810元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ）
A．1000（1﹣2x）＝810 B．1000（1﹣x）2＝810
C．800（1＋2x）＝1000 D．800（1＋x）2＝1000
【答案】B
【解析】第一次降价后的价格为元；第二次降价后的价格为元，所以，可列方程为：．
故答案为：B.
5．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【答案】D
【解析】根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故答案为：D．
6．设，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：A.
7．a、b、c为常数，且a、c异号，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【解析】由题意得：，
∵a、c异号，且，
∴，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（ ）
A．x2-4x+3=0 B．x2+4x-3=0 C．x2+3x+4=0 D．x2+3x-4=0
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，
∴p=-（x1+x2） =-4，q=x1·x2=3，
∴这个一元二次方程是x2-4x+3=0.
故答案为：A.
9．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
10．已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【解析】A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．方程x2＝9的解为 ．
【答案】±3
【解析】∵x2＝9，
∴x＝±3.
故答案为：±3.
12．若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是 .
【答案】-1
【解析】∵m﹣n2＝0，
∴m＝n2，
∴m+2n
＝n2+2n
＝（n+1）2﹣1≥﹣1，
∴m+2n的最小值是﹣1.
故答案为：﹣1.
13．已知是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】2
【解析】=，
由根与系数的关系可知：代入得：
．
故答案为：2．
14．若，则方程的解是 ．
【答案】=2，=1
【解析】∵，
∴m+1=0，n-2=0，
∴m=-1，n=2，
∴方程化为，
∴，
∴x-2=0或x-1=0，
所以=2，=1．
故答案为：=2，=1．
15．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是
【答案】4
【解析】∵（x-3）2=1，
∴x-3=1或x-3=-1，
∴x1=4，x2=2，
∴Rt△ABC的两条直角边为4和2，
∴Rt△ABC的面积=×4×2=4.
故答案为：4.
16．将配方成的形式，则 ．
【答案】3
【解析】，
，
．
．
故答案为：3.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）
（2）（公式法）
（3）
（4）（配方法）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴2x+3=±5，
∴2x+3=5或2x+3=-5，
∴=1，=-4；
（2）解：，
∵a=2，b=-7，c=-2，
∴△=（-7）2-4×2×（-2）=49+16=65>0，
∴x=，
∴=，=；
（3）解：，
移项得，
因式分解得，
∴x+2=0或x-1=0，
∴=-2，=1；
（4）解：，
移项得，
配方得，即，
∴x+4=±5，
∴x+4=5或x+4=-5，
∴=1，=-9．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求m的取值范围.
（2）当x1＝5时，求另一个根x2的值.
【答案】（1）解：根据题意得，△＝9﹣4m＞0，
解得，m＜ ；
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝3，
∵x1＝5，
∴x2＝﹣2.
19．已知：关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得k＞﹣；
（2）解：当k＝﹣2时，方程为x2﹣3x+2＝0，
因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
20．关于x的一元二次方程有两个不等实根、．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根、满足，求k的值．
【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴>0，
解得：> ．
（2）解：由根与系数的关系，得， ．
∵，
∴，
解得：k=0或k=2，
又∵>，
∴k=2．
21．已知关于的方程，
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若是该方程的一个根，求方程的另一个根.
【答案】（1）解：∵b2-4ac=4k2-4×2（k-1）=4（k2-2k+1）+4，
∴=4（k-1）2+4＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不等的实数根.
（2）解：∵x=-1是该方程的一个根，
∴2-2k+k-1=0，
∴k=1，
∴2x2+2x=0，即2x（x+1）=0，
∴x=0或x=-1，
∴方程的另一个根为0.
22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）写出一个“勾系一元二次方程” ．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根．
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．
【答案】（1）
（2）证明：Δ＝（ c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴Δ＝2a2+2b2﹣4ab＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2，
∵（a﹣b）2≥0，
∴Δ≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）解：将x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得：
a﹣ c+b＝0，
∴a+b＝ c，
∵△ABC的面积是25，
∴ ，
∴ab＝50，
∵a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
∴（ c）2﹣2×50＝c2，
∴c2=100，
解得c1＝c2＝10，
∴a+b＝ c＝10 ，
∴四边形ACDE的周长为：2a+2b+ c＝30 ．
【解析】【解答】（1）满足a，b，c为直角三角形的三边长即可，
如a＝3，b＝4，c＝5，
勾系一元二次方程为： （答案不唯一），
故答案为： ．
23．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了 瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当 时，每瓶洗手液的价格是 元；当 时，每瓶洗手液的价格是 元；当 时，每瓶洗衣手液的价格为 元（用含 的式子表示）；
（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？
【答案】（1）8；7；
（2）解：①0≤x≤100时，8×100＝800＜1250（舍去）；
②∵最低价格不能低于每瓶5元，
∴ ，
解得，x≤250，
∴当100＜x≤250时， ．
解得，x1＝x2＝250，
答：一共购买了250瓶洗手液
【解析】（1）∵80＜100，
∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是： 8﹣1＝7（元），
当 时，每瓶洗手液的价格是： （元），
故答案为：8，7， ；
24．定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，分别以 为横坐标和纵坐标得到点M ，则称点M为该一元二次方程的衍生点
（1）若一元二次方程为 ，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为
（2）若关于x的一元二次方程为
①求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线 ：y＝x+5与x轴交于点A，直线 过点B(1，0)，且 与 相交于点C( 1，4)，若由①得到的点M在 的内部，求 的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 的行生点M始终在直线 的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由
【答案】（1）(0，2)
（2）解：①
解得 ， ，
的衍生点为M ；
② 与x轴交于点A，
，
由①得， ，
令 ，
，
在直线 上，刚好和 的边BC交于点 ，
令y=0，则x+2=0，
，
，
；
（3）解：存在．
直线 ，过定点 ，
的两个根为 ，
，
．
【解析】（1）
，
，
的衍生点为 ，
故答案为： ；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
