第八讲椭圆方程与离心率 专题学案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修1-1（含答案）

第八讲 椭圆方程与离心率
【学习目标】
理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
理解椭圆方程与离心率之间的关系，能通过属性结合进行代数的求解离心率
【重点】椭圆的定义及椭圆的标准方程
【难点】运用标准方程解决相关问题，特别是数形结合的知识内容
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
对称轴 关于x轴，y轴轴对称，关于原点周彪中心对称
半长轴 长轴
半短轴 短轴
半焦距 焦距
半通径 通径
如图：，
【重点】离心率代数的转换及不等式的求解
离心率：
离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。
【知识点】
椭圆的定义
椭圆定义的应用
椭圆的标准方程
椭圆方程与离心率
【知识点】椭圆的定义
【例1】设P是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【课堂练习】
1、若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )
A．4 B．194 C．94 D．14
【知识点】椭圆定义的运用
【例1】（2019福建高二期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
【例2】过椭圆的一个焦点，且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为
【例3】直线被椭圆截得的弦长是( )
A. B. C. D.
【例4】已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【课堂练习】
1、如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
2、已知椭圆与直线交于，两点，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3、已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
【知识点】椭圆的标准方程
【例1】焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
【例2】与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
【课堂练习】
1、已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2、（安徽模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，若在直线上x=2a存在点P使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率范围是
第八讲 椭圆方程与离心率
【学习目标】
理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．
掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
理解椭圆方程与离心率之间的关系，能通过属性结合进行代数的求解离心率
【重点】椭圆的定义及椭圆的标准方程
【难点】运用标准方程解决相关问题，特别是数形结合的知识内容
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
对称轴 关于x轴，y轴轴对称，关于原点周彪中心对称
半长轴 长轴
半短轴 短轴
半焦距 焦距
半通径 通径
如图：，
【重点】离心率代数的转换及不等式的求解
离心率：
离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。
【知识点】
椭圆的定义
椭圆定义的应用
椭圆的标准方程
椭圆方程与离心率
【知识点】椭圆的定义
【例1】设P是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【分析】有椭圆的定义可得，椭圆上的点到焦点的距离之和是定长。
【详解】因为椭圆的方程为，所以a2=25，由椭圆的的定义知
【课堂练习】
1、若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( )
A．4 B．194 C．94 D．14
【答案】D
【分析】由椭圆的定义可得，椭圆上的点到焦点的距离之和是定长。
【详解】依题意，且
【知识点】椭圆定义的运用
【例1】（2019福建高二期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义，化简为标准方程，根据椭圆焦点所在轴的位置判断对应的a和b的大小。
【详解】
转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.所以实数k的取值范围是（0,1）
【例2】过椭圆的一个焦点，且垂直于轴的直线被此椭圆截得的弦长为
【答案】3
【分析】过椭圆的一个焦点，且求与焦点所在轴垂直的弦叫做椭圆的通径，其长
【详解】：，，所求弦长就是椭圆通径的长度
【例3】直线被椭圆截得的弦长是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】直线被椭圆截得的弦的长度求法公式：①；②.
解题时灵活选择，使得简化过程.
【详解】联立，得．
设直线被椭圆所截线段的两个端点分别为，.
思路1：
由韦达定理，得，，则
．
思路2：
解方程，得，，则
===.
【例4】已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义得出a,b,c，画出草图即可求得周长所对应的线段长度，灵活利用a,b,c，三者之间的关系。
【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为
【课堂练习】
1、如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用椭圆的交点在x轴上，能得到长半轴大于短半轴，从而得到不等式，解不等式时需要注意长半轴和短半轴需同时满足大于0.
【详解】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D.
2、已知椭圆与直线交于，两点，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】对于此题，弦长公式选择“”，计算相对方便
【详解】联立方程组，消，得.
>0，16>0，.
设，，根据韦达定理，有，.
，，=，.
，符合.
3、已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义画出草图，根据图像可以得到三角形的图形关系示意图，灵活运用余弦定理可以求得面积。
【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°
12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，
∴.
【知识点】椭圆的标准方程
【例1】焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
【例2】与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
【答案】1、； 2、或 ； 3、
【分析1】根据椭圆的定义及长半轴长及焦距之间的关系，可得a，b，c
【详解2】由已知条件可得，可得，，因此，所求椭圆的标准方程为；
【分析2】有椭圆的定义可知离心率和a、c之间的关系
【详解2】易知椭圆的离心率．当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为，把点代入方程，得．又，解得，，所以所求椭圆的方程为．当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为，
把点代入方程，得．又，解得，，所以所求椭圆的方程为．
【课堂练习】
1、已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上，
则，所以，
由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为，
则，所以，
由题得，，则，
即，则有，即，
而，所以，
整理得：，则，即，
解得：，
即椭圆的离心率为.
2、（安徽模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，若在直线上x=2a存在点P使得线段PF1的垂直平分线过点F2，则离心率范围是
【答案】
【分析】
数形结合，结合题目所给条件画出图形，懂得画垂直平分线。
发现不等式,利用椭圆离心率可得结论。
【详解】