第二章一元二次函数、方程和不等式 测试卷（含解析）

一元二次函数、方程和不等式测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设 , 则( )
A. B. C. D.
2．已知 , 则以下结论正确的是( )
A. B. C. D. 的大小无法确定
3．不等式 中, 等号成立的条件是( )
A. B. C. D.
4．已知 , 若不等式 恒成立, 则 的最大值为( )
5．关于 的不等式 的解集是 , 则关于 的不等式 3) 的解集是（ )
A. 或 B.
C. D. 或
6．设 , 则 “ ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7．不等式组 的解集是（）
A. B.
C. D. 或
8．已知关于 的不等式 的解集为, 若, 则实数 的取值范围为 (
A. 或 B.
C. 或 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下面列出的几种不等关系中, 正确的为 ( )
A. 与 2 的和是非负数, 可表示为 “ ”
B. 小明的身高为 , 小华的身高为 , 则小明比小华矮, 可 表示为 “ ”C. 的两边之和大于第三边, 记三边分别为 , 则可表示为 “ 且 ”
D. 若某天的温度为 , 最低温度为 , 最高温度为 , 则这天的温度范围可表示为 ”
10．设 , 给出下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11. 下面列出的几种不等关系中, 正确的为 ( )
A. 与 2 的和是非负数, 可表示为 “ ”
B. 小明的身高为 , 小华的身高为 , 则小明比小华矮, 可表示为 “ ”C. 的两边之和大于第三边, 记三边分别为 , 则可表示为 “ 且 ”
D. 若某天的温度为 , 最低温度为 , 最高温度为 , 则这天的温度范围可表示为
12．关于 的不等式 的解集, 以下叙述正确的是（）
A. 当 时, 不等式的解集为
B. 当 时, 不等式的解集为
C. 当 时, 不等式的解集为
D. 当 时, 不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知 , 给出下面四个不等式: (1) , (2) ,(3) , (4) , 其中错误的不等式为 。(填 序号)
14．已知, 且满足 , 则的最大值为 取得最大值时的值为
15．从等腰直角三角形纸片 上, 剪下如图所示的两个正方形, 其中 , , 则这两个正方形的面积之和的最小值为
16．函数 的图象如图所示, 则不等式 的解集是
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
且 , 比较 与 的大小。
18．(本小题满分12分)
已知 , 且 , 则 的取 值范围是
19．(本小题满分12分)
(1)求当 时, 的最小值;(2)求当 时, 的最大值。
20．(本小题满分12分)
已知 , 且 , 求
(1) 的最小值.
(2) 的最小值.
21.(本小题满分12分)
解关于的不等式 .
22．(本小题满分12分)
不等式 的解集为 , 求 的取值范围.
参考答案
1解析 因为 , 所以 。
答案 C
2解析 , 因为 , 所以 。故 选 。
答案
3解析 此不等式等号成立的条件为 , 即 。故选 D。答案
4解析由 得 ,当且仅当 ,即 时等号成立.
所以 , 所以 的最大值为 12 .
答案
5解析 由题意, 知 ,
且 1 是 的根, 所以 ,
所以 ,
所以 或 ,
因此原不等式的解集为 或 .
答案 A
6解析 解一元二次不等式 可得: 或 , 据此可知: “ ” 是 “ ”的充分不必要条件.
答案 A
7解析 求解不等式: 可得:
; 求解不等式: 可得: 或 ;
据此可得不等式组 的解集是 .
答案
8解析 由题意可得 , 或式子无意义. 化简可得 或 . 解得 .
答案
9解析 对于 A 中, 与 2 的和是非负数, 应表示为 “ ” , 故 错误; 对于 中, 小明比小华矮, 应表示为 “ ”, 故 B 错误; 对于 C 中, 根据三角形的性质, 两边之和大于第三 边, 所以 正确; 对于 中, 最低温度为 , 最高温度为 , 则这天的温度范围可表示为 “ ”, 所以 正确。 故选 CD。
答案
10解析 设 成立, 不成立; , 当且仅当 , 即 时取等号, 故 成立; ,, 所以 , 当且仅当 , 即
时取等号, 故 D 成立。
答案 ACD
11解析 对于 A 中, 与 2 的和是非负数, 应表示为 “ ” , 故 错误; 对于 中, 小明比小华矮, 应表示为 “ ”, 故 B 错误; 对于 C 中, 根据三角形的性质, 两边之和大于第三 边, 所以 正确; 对于 中, 最低温度为 , 最高温度为 , 则这天的温度范围可表示为 “ ”, 所以 正确。
答案
12解析 关于 的不等式 可化为 , 当 时, 不等式的解集为 ; 当 时, 不等式的解集为 ; 当 时, 不等式的解集为 .
答案
13解析 (特殊值法) 令 , 则 , , 故 (1)(2)(3)错误, 而当
时, , 故有 一定成立, 故(4)正确。
答案 (1)(2)(3)
14解析 因为 , 所以 , 当且仅当 时取等号。由 , 得 。由 故 的最大值为 3, 此时 。
答案 3，2
15解析设两个正方形边长分别为 ,
则由题可得 ,
即 ，
当且仅当 时取等号.
答案:
16解析由题图知, 1 和 2 是 的两个根, 所以 且 , 所以 且 .
不等式 等价于 , 即 , 所以 .
答案:
17解 因为 , 当 时, ;
当 , 即 时, , 所以 ; 当 且 , 即 或 时, , 所以 。
18解析 因为 , , 所以 , 所以 的取值 范围是 。
答案
19解 (1) 当 时, , 当且仅 当 时等号成立,
所以当 时, 的最小值为 。
(2) 因为 , 所以 ,
所以 ,
当且仅当 , 即 时等号成立,
故当 时, 的最大值为 。
20【解析】(1) 由 , 得 , 又 , 则 , 得 , 当且仅当 时, 等号成立.
所以 的最小值为 64 .
(2)由 , 得 ,
则
当且仅当 且 时等号成立,
所以 的最小值为 18 .
21【解析】原不等式转化为 ,
对应的一元二次方程的根为 .
(1) 当 , 即 时,
不等式的解集为 ;
(2)当 , 即 时, 原不等式化为 , 无解;
(3)当 即 时, 不等式的解集为 .
综上所述, 当 时, 原不等式的解集为 ;
当 时，原不等式的解集为 ;
当 时, 原不等式的解集为 .
22【解析】当 时, 或 .
若 , 原不等式化为 , 恒成立. 原不等式解集为 .
若 , 原不等式化为 , 得 , 原不等式的解集为 ,不合题意, 舍去. 当 时,
依题意有 3.
综上所述, 当 时, 不等式
的解集为R.