6.1.5平面向量的概念及线性运算 达标训练（含解析）

6.1.5平面向量的概念及线性运算达标检测
一、单项选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
4．(2020·长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)
A.－ B．＋
C.－ D．＋
5．在△ABC中，＝，P是直线BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－1
C．1 D．4
6．(2020·南昌模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.－
7.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
二、多项选择题
9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
10．(2020·济南一中月考)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
11．设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　)
A. B． C. D．
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题
13．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．
14．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________.
15．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
16．(2020·株江模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
四、解答题
17．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
18．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.
(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
19．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，△ABC与△APQ的面积之比为，求实数λ的值．
20.如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
21．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．
22．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
参考答案
1．A
解析：①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.
④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
2．B
解析：当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；
当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选B.
3．A
解析：由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.
4．C
解析：因为E为DC的中点，所以＝.
因为＝2，所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋＝－，
故选C.
5．B
解析：∵＝，∴＝5.
又＝m＋，
∴＝m＋2，
由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.
6．B
解析：由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得
＝－＝－＝(＋)－
＝－
＝－.
7. C
解析：
法一：∵与的夹角为120°，与的夹角为30°，
且||＝||＝1，||＝，∴由＝λ＋μ，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①
由＝λ＋μ，两边同乘得＝λ－，两边平方得＝λ2－λμ＋，②
①－②得＝.
根据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入＝λ－得λ＝2，∴λ＋μ＝3.
故选C.
法二：建系如图：
由题意可知A(1,0)，C，B，
∵＝λ(1,0)＋μ＝.
∴∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.
8．B
解析：作∠BAC的平分线AD.
因为＝＋λ，
所以＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，
所以＝·，
所以∥，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选B.
9．AB
解析：对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；
对于B，由平面向量共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量，故B正确；
对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；
对于D，已知梯形ABCD中，＝a，＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．
故选AB.
10．ACD
解析：对于A，因为＝＋，所以－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确．
对于B，因为＝2－，所以－＝－，所以＝，则点M在边CB的延长线上，所以B错误．
对于C，设BC的中点为F，由＝－－，得＝＋＝2，由重心性质可知C正确．
对于D，因为＝x＋y，且x＋y＝，所以2＝2x＋2y，2x＋2y＝1.设＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．
故选ACD.
11．CD
解析：因为P，Q，R三点共线，所以与共线，
所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，
因为a，b是不共线的两个平面向量，
所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，
故α可为或.
12．ACD
解析：若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；
若＝2－，即有－＝－，即＝，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若＝－－，即＋＋＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，＝x＋y，且x＋y＝，
可得2＝2x＋2y，
设＝2，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.
13．答案：－
解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，
解得λ＝1或λ＝－.
又因为k＜0，
所以λ＜0，故λ＝－.
14．答案：　
解析：取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.
∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，
∴λ＝，μ＝.
15．答案：3
解析：由已知条件得＋＝－，M为△ABC的重心，
∴＝(＋)，
即＋＝3，则m＝3.
16．答案：
解析：＝＋＝＋，
＝－＝－＋，
设＝λ＝－＋λ(0≤λ≤1)，
则＝＋＝＋λ.
因为＝m＋n，
所以m＝1－，n＝λ.
所以＋＝＋＝＝≥＝.
当且仅当3(λ＋4)＝，
即(λ＋4)2＝时取等号．
解答题
17．证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
所以－＝m(－)，
即＝m，所以与共线．
又因为与有公共点B，
所以A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
因为O，A，B三点不共线，所以，不共线，
所以所以m＋n＝1.
18．解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD的中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形ABCD的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，
所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
19．解：
设＝x，
因为P，G，Q三点共线，
所以可设＝μ＋(1－μ)，
所以＝λμ＋(1－μ)x，
因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)，
所以＋＝λμ＋(1－μ)x，
所以两式相乘得＝λxμ(1－μ)，①
因为＝，
所以λx＝，②
②代入①即＝μ(1－μ)，
解得μ＝或，即λ＝或.
20.解：＝(＋)＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)＝＋
＝a＋b.
21．解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
22．解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
则，消去λ，得＋＝3.